Г. Г. Харди. Апология математика (Перевод с английского Ю. А. Данилова). — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 104 с. ISBN 5-89806-035-9

A Mathematician's Apology by G. H. Hardy. With a foreword by C. P. Snow. — Cambridge University Press, 1967.

В живой увлекательной форме рассказано о специальности математика, математической теории, научной атмосфере Кембриджа начала XX века. Профессор Г. Харди (1877–1947) — выдающийся английский математик, его научное творчество совместно с Литлвудом привело к ряду замечательных открытий.

Для широкого круга читателей — математиков, историков, философов, студентов, научных работников и даже для школьников.

Содержание
 

Предисловие Ч. П. Сноу

7

«Апология» Г. Г. Харди

41
Предисловие
1   2   3   4   5   6   7   8   9
10   11   12   13   14   15   16   17   18   19
20   21   22   23   24   25   26   27   28   29
Примечание

Примечания переводчика

    94




Предисловие Ч. П. Сноу

Это был ничем не примечательный вечер за высоким столом1 в Крайст-колледже2, если не считать того, что гостем был Харди. Он только что вернулся в Кембридж в качестве Садлеровского профессора3, и мне доводилось слышать о нём от молодых кембриджских математиков. Они были в восторге от его возвращения: по их словам, он был настоящим математиком, не то, что все эти дираки4 и боры5, о которых без умолку толкуют физики. Харди был чистейшим из чистых математиков6. К тому же он был человеком неортодоксальным, эксцентричным, радикальным и охотно говорил буквально обо всём. На дворе стоял 1931 год, и выражение «звезда» ещё не вошло в английский язык, но позднее молодые кембриджские математики непременно сказали бы, что Харди наделён всеми качествами звезды.

Со своего места я снизу вверх наблюдал за Харди. Ему тогда было лет пятьдесят с небольшим. Волосы его уже поседели, но плотный загар придавал ему сходство с краснокожим индейцем. Лицо Харди было красивым: высокие скулы, тонкий нос, выразительные лучистые глаза, в которых, однако, время от времени пробегало насмешливое мальчишеское выражение. Глаза у него были тёмно-карими, яркими, как у птицы, такие глаза не часто встретишь у тех, кто склонен к астральному мышлению. В Кембридже в ту пору было немало необычных, запоминающихся личностей, но Харди, подумалось мне в тот вечер, выделялся даже среди них.

Не помню, как был одет тогда Харди. Вполне возможно, что под мантией на нём была спортивная куртка и серые спортивные брюки. Подобно Эйнштейну, Харди одевался как ему нравилось, хотя в отличие от Эйнштейна он разнообразил свой повседневный туалет, отдавая явное предпочтение дорогим шёлковым рубашкам.

Когда мы сидели в профессорской, потягивая вино после обеда, кто-то сказал, что Харди хотел бы поговорить со мной о крикете. Я был избран членом колледжа всего лишь за год до этого, но Крайст в то время был небольшим колледжем, и о том, как предпочитают проводить 7  свой досуг даже младшие члены колледжа, вскоре становилось известно всем. Я пересел рядом с Харди. Меня никто ему не представил. Как я узнал впоследствии, Харди был человеком скромным и застенчивым во всём, что касалось этикета, и панически боялся официальных представлений. Харди слегка кивнул мне, как бы приветствуя старого знакомого, и без предисловий начал:

— Говорят, Вы неплохо разбираетесь в крикете7?

— Немного разбираюсь, — ответствовал я.

Харди тотчас обрушил на меня град вопросов. Играл ли я сам? Какого класса я игрок?

Случайно я начал догадываться, что Харди опасался нарваться на «знатока» того типа, который особенно часто встречается в академических кругах: такие люди превосходно разбираются в теории игры, но сами совершенно не умеют играть. Я выложил ему все свои достижения, ничего не приукрашая. Мой ответ, судя по всему, удовлетворил его, по крайней мере отчасти, и Харди перешёл к более тактичным вопросам. Кого бы я выбрал капитаном на последнем матче в прошлом (1930) году? Если бы выборщики решили, что Сноу — тот человек, который может спасти Англию, то какова была бы моя стратегия и тактика? («Если Вы достаточно скромны, то можете действовать как неиграющий капитан».) И так далее и тому подобное до конца обеда. Харди был полностью поглощён размышлениями о крикете.

В дальнейшем мне не раз представлялся случай убедиться в том, что Харди не верил ни интуиции, ни впечатлениям как своим собственным, так и других людей. По мнению Харди, единственный способ убедиться в чьих-то познаниях заключался в том, чтобы подвергнуть «испытуемого» экзамену. Предметом могла быть математика, литература, философия, политика — что угодно. Если собеседник Харди от вопросов краснел, бледнел, а затем терялся и сникал, то это было его дело и Харди ничуть не трогало. В его блестящем уме, сосредоточенном на том или ином предмете обсуждения, на первом месте шли факты.

В тот вечер в профессорской Крайст-колледжа Харди требовалось выяснить, гожусь ли я на роль чемпиона по крикету. Всё остальное не имело значения.

Так, подобно тому, как своим знакомством с Ллойд Джорджем8 я обязан его увлечению френологией9, дружбой с Харди я обязан тому, что в юности проводил непропорционально много времени на крикетных площадках. Не знаю, какую мораль можно извлечь из этого. Скажу 8  только, что мне очень повезло. В интеллектуальном плане это была самая ценная дружба за всю мою жизнь. Как я уже упоминал, Харди обладал блестящим умом, способным сосредоточиться на рассматриваемой проблеме, и эти качества были присущи ему в столь высокой степени, что рядом с ним любой другой выглядел глуповатым, скучным и терялся. Харди не принадлежал к числу великих гениев, как Эйнштейн10 и Резерфорд11. С присущей ему прямотой и ясностью Харди говорил, что если слово «гений» вообще что-нибудь означает, то он не гений. В лучшем случае, по его признанию, он в течение короткого периода занимал пятое место среди лучших чистых математиков мира. Поскольку его характер отличался такой же прямотой и был не менее прекрасен, чем его разум, Харди всегда подчёркивал, что его друг и неизменный соавтор Литлвуд12 гораздо более сильный математик, чем он сам, а его протеже Рамануджан13 — действительно природный гений в том смысле (хотя и не в такой степени и далеко не столь плодотворный), в каком можно считать гениями величайших из математиков.

Некоторые считают, что давая столь высокие отзывы о Литлвуде и Рамануджане, Харди недооценивал себя. Харди действительно был великодушен и далёк от зависти, насколько может быть чужд зависти человек. Всё же я полагаю, что те, кто не разделяет мнение Харди о самом себе, заблуждаются. Я предпочитаю с доверием относится к его высказыванию в «Апологии математики», в котором гордость удивительным образом сочетается со скромностью: «Когда я бываю в плохом настроении и вынужден выслушивать людей напыщенных и скучных, я говорю про себя: "А всё-таки мне выпало пережить нечто такое, о чём вы даже не подозреваете: мне довелось сотрудничать с Литлвудом и Рамануджаном почти на равных".»

В любом случае точное определение ранга математического дарования Харди следует предоставить историкам математики (хотя это заведомо безнадежная затея, поскольку лучшие свои работы Харди написал в соавторстве). Но есть кое-что ещё, в чём Харди обладал явным превосходством над Эйнштейном, Резерфордом или любым другим великим гением: над чем бы ни трудился его интеллект, будь то большая или незначительная проблема и даже просто игра, Харди превращал предмет своих занятий в подлинный шедевр. Мне кажется, что именно эта особенность, почти не осознанная, была для него источником интеллектуального 9  наслаждения. Грэм Грин14 в своей рецензии на первое издание «Апологии математики»15 заметил, что наряду с «Письмами» Генри Джеймса16 «Апология» даёт наиболее полное представление о том, что такое быть художником-творцом. Размышляя над тем, какое воздействие Харди оказывал на всех окружающих, я склонен думать, что это важное замечание.

Харди родился в 1877 году в скромной семье педагогов. Его отец, магистр искусств17, был казначеем в Кранли18, в то время небольшой привилегированной частной школы для мальчиков. Его мать была старшим преподавателем в Линкольнском учебном колледже для учителей. И мать и отец Харди были людьми одарёнными и обладали математическими способностями. Как и у большинства математиков, необходимость в поиске генофонда у Харди отпадает. В отличие от Эйнштейна детство Харди во многом было типично для будущего математика. Как только он научился читать, а может ещё раньше, Харди стал поражать окружающих необычайно высоким IQ19. В возрасте двух лет он умел записывать числа до нескольких миллионов (обычный признак математической одарённости). Когда его стали брать в церковь, он развлекался тем, что разлагал на множители номера псалмов. С тех пор Харди всю свою жизнь играл с числами, и эта забава вошла у него в привычку, которая впоследствии привела к трогательной сцене у постели больного Рамануджана. Эта сцена широко известна, но далее я всё же не устою перед «искушением повторить её ещё раз».

Детство Харди проходило в изысканной, просвещённой и высоко интеллектуальной викторианской20 атмосфере. Возможно, его родители были к нему излишне требовательными, но вместе с тем и очень добрыми. В такой викторианской семье к ребёнку относятся со всей возможной мягкостью, но в то же время — и в интеллектуальном плане — с чуть более высокой требовательностью, чем следовало бы. Харди был необычным ребёнком в двух отношениях. Во-первых, он в необычно раннем возрасте, задолго до того, как ему исполнилось двенадцать лет, стал болезненно застенчивым. Родители Харди сознавали, что их сын необычайно одарён, и он действительно был вундеркиндом. По всем предметам Харди был первым в своём классе. Но из-за своих успехов ему приходилось выходить перед всей школой при вручении наград, а этого он терпеть не мог. Однажды за обедом Харди признался мне, что иногда умышленно давал неверные ответы на вопросы учителей, чтобы избавить себя от невыносимой процедуры награждения. Но, должно 10  быть, способностью к притворству Харди обладал лишь в самой малой степени: награды всё равно доставались ему.

В зрелые годы Харди удалось в какой-то мере избавиться от застенчивости. Появилась жажда к состязанию или соперничеству. Как говорит сам Харди в «Апологии», «не помню, чтобы в детстве я испытывал какую-то страсть к математике, и те чувства, которые я испытывал на протяжении моей карьеры математика, — далеко не благородные. Я всегда думал о математике как о серии экзаменов и именных стипендий: мне хотелось победить других мальчиков, и математика представлялась мне той областью, где я смог бы сделать это наиболее убедительно». Тем не менее Харди с его сверхчувствительной натурой был вынужден соприкасаться с реальной жизнью. И трёх шкур было бы мало, чтобы защитить его от внешнего мира. В отличие от Эйнштейна, которому пришлось подавить своё мощное эго при изучении внешнего мира прежде, чем он смог достичь своего морального статуса, Харди пришлось усилить своё эго, которое не было особенно защищено. В последующей жизни эго заставляло Харди временами чрезмерно самоутверждаться (чего никогда не делал Эйнштейн), когда ему приходилось занимать ту или иную моральную позицию. С другой стороны, эго придавало Харди ясность в понимании своего внутреннего мира и завораживающую искренность, что позволяло ему говорить о себе с абсолютной простотой (чего никогда не мог Эйнштейн).

Полагаю, что это противоречие, или напряжённость, в темпераменте Харди было связано с одной любопытной особенностью его поведения. Харди был классическим антинарциссистом. Он терпеть не мог фотографироваться: насколько мне известно, существует всего пять фотографий Харди. В комнатах, где он жил, не было ни одного зеркала, даже зеркала для бритья. Когда ему случалось поселиться в гостиничном номере, он прежде всего завешивал все зеркала полотенцами. Всё это было достаточно странным, даже если бы лицо Харди напоминало горгулью21, но на первый взгляд казалось ещё более странным, так как всю свою жизнь Харди выглядел просто замечательно. Но, разумеется, нарциссизм и антинарциссизм не имеют ничего общего с тем, как человек выглядит в глазах постороннего наблюдателя.

Поведение Харди казалось эксцентричным, и оно действительно было таковым. Однако и в этом отношении между ним и Эйнштейном было различие. Те, кому довелось много общаться с Эйнштейном, например, Инфельд22, чувствовали, что чем дольше они его знают, тем 11  более чуждым, менее похожим на них самих, он становится. Я совершенно уверен, что и у меня могло бы возникнуть аналогичное чувство. Но с Харди всё обстояло иначе. Его поведение часто отличалось, причём самым причудливым образом, от нашего, но казалось, что оно исходило от некоторой суперструктуры, наложенной на природу, — суперструктуры, которая ничем не отличалась от нашей, разве что была более деликатной, менее погрязшей в суесловии и обладала более тонкой нервной организацией.

Вторая необычная особенность детства Харди носила более земной характер, и она означала, что на протяжении всей его карьеры с его пути были устранены все практические препятствия. Харди с его обезоруживающей откровенностью был бы несколько задет, если бы кто-то стал ходить вокруг и около этого деликатного вопроса. Он знал, что такое привилегии, и знал, кто располагает ими. У его семьи не было денег — только скромный доход преподавателей, но его родители поддерживали контакты с лучшими представителями образования в Англии конца XIX века и пользовались их советами и рекомендациями. В Англии такого рода информация всегда была более ценной, чем любое состояние. Стипендии за успехи в овладении науками были хороши, если знать, как их получить. У юного Харди, в отличие от юного Уэллса23 или юного Эйнштейна, не было ни малейшего шанса затеряться. Начиная с двенадцатилетнего возраста перед ним стояла единственная задача — выжить, а о его талантах не забудут.

И действительно, когда Харди исполнилось двенадцать лет, ему была предоставлена стипендия, дававшая право учиться в Уинчестере24, лучшей по тем временам (и ещё долго остававшаяся таковой) математической школе Англии, только за то, что некоторые из выполненных им в Кранли математических работ были признаны заслуживающими внимания. (В этой связи уместно спросить, обладает ли подобной гибкостью какая-нибудь из известных школ в настоящее время?) В Уинчестере Харди изучал математику в группе наиболее сильных студентов: по классическим дисциплинам он не уступал лучшим из лучших. Позднее Харди признавал, что получил хорошее образование, но делал это неохотно. Сам колледж Харди не нравился, иное дело занятия. Как и во всех частных школах, обстановка в Уинчестере была весьма суровой. В одну из зим Харди едва не умер. Он завидовал Литлвуду, жившему в школьные годы в уютной домашней обстановке и посещавшему в качестве приходящего ученика Сент-Полз-Скул25, или другим 12  друзьям, учившимся в наших классических школах26, где нет условностей и ограничений привилегированных учебных заведений. Покинув Уинчестер, Харди никогда и близко не подходил к опостылевшему колледжу, но покинул он его стены, встав на твёрдый путь — со стипендией, дававшей право на обучение в Тринити27.

У Харди была своя особая причина обижаться на Уинчестер. Он обладал великолепным глазомером и от природы великолепно играл в любые игры с мячом. Когда ему было за пятьдесят, он обычно легко обыгрывал вторую ракетку университета в большой теннис, а в возрасте за шестьдесят на моих глазах потрясающе боулировал28 на крикетной площадке. Тем не менее в Уинчестере у него не было тренера. Техника игры Харди страдала кое-какими изъянами, и он полагал, что будь у него настоящий тренер, ему бы удалось стать настоящим бэтсменом29, хотя и не первоклассным, но не слишком далёким от первоклассного. Мне кажется, что, как и в других суждениях о себе, Харди не ошибался. Странно, что в зените всеобщего увлечения играми в викторианскую эпоху такой талант был упущен. Думаю, что никому и в голову не пришло посмотреть на хрупкого и болезненного отличника, к тому же болезненно застенчивого, как на будущую спортивную звезду.

Для уикемиста30 того периода было бы естественно отправиться для продолжения образования в Нью Колледж31. Для профессиональной карьеры Харди такой выбор не имел бы особого значения (хотя Оксфорд всегда нравился ему больше, чем Кембридж, и он вполне мог бы остаться в его стенах на всю жизнь, а тогда некоторые из нас понесли бы тяжелую утрату). Харди решил продолжить образование в Тринити по причине, которую он с юмором, но по своему обыкновению совершенно откровенно описывает в «Апологии». «Мне было около пятнадцати лет, когда мои амбиции взыграли по довольно необычному поводу. Некий «Алан Сент-Обин» (в действительности миссис Фрэнсиз Маршалл) написал книгу «Член Тринити-колледжа» — одну из серии книг, якобы рассказывающей о жизни в кембриджских колледжах... В книге два героя: главное действующее лицо Флауэрс, почти всегда хороший, и персонаж второго плана Браун, человек менее благонадежный. В университетской жизни Флауэрса и Брауна подстерегает множество опасностей ... Флауэрс успешно преодолевает все препятствия, становится вторым ранглером32, и его автоматически выдвигают в младшие члены колледжа (я надеялся, что с тех пор он стал членом колледжа). Браун не выдержал ниспосланных ему испытаний, довёл до полного разорения 13  своих родителей, спился и был спасен от белой горячки только молитвами младшего ректора, вознесенными в сильнейшую грозу, с величайшим трудом окончил курс и, наконец, стал миссионером. Но все эти горестные события не ослабили дружбы героев, и когда Флауэрс на правах младшего члена колледжа впервые расположился в профессорской, потягивая портвейн и закусывая жареными каштанами, все его мысли были обращены к бедняге Брауну, которому он искренне сочувствовал.

Насколько можно было судить по образу, нарисованному Аланом Сент-Обином, Флауэрс был довольно славным малым, но даже я, совсем ещё неискушённый мальчишка, не мог признать его умным. Но коль скоро он мог проделывать всё, о чём говорилось в романе, то почему бы всё это не проделать и мне? Особенно по вкусу мне пришлась заключительная сцена в профессорской, и с тех пор, покуда я не добился своего, заниматься математикой для меня стало означать стать младшим членом Тринити-колледжа».

Заняв первое место на публичных экзаменах по математике — знаменитом Математическом Треножнике33, часть II, Харди в возрасте 22 лет стал младшим членом Тринити-колледжа. Причём две превратности судьбы его всё же подстерегали. Первая носила религиозный характер в истинно викторианском духе. Харди решил (думаю, ещё до того, как он покинул Уинчестер), что не верит в Бога. К такому заключению Харди пришёл в своём духе, приняв «чёрно-белое» решение, ясное и чёткое, как и всё, что выношено его мышлением. Посещение капеллы в Тринити носило обязательный характер. Харди сообщил ректору, несомненно, в своём неподражаемом стиле застенчивой непреклонности, что он сознательно намерен отказаться от посещения церкви. Ректор, должно быть, человек находчивый, настоял, чтобы Харди написал своим родителям и сообщил им о своём решении. Они придерживались ортодоксально религиозных взглядов, и ректор, а тем более Харди, знал, что такая новость причинила бы им боль — такую боль, которую мы, живущие семьдесят лет позднее, не можем себе даже представить.

Харди пришлось пережить муки совести. Он не был достаточно искушён для того, чтобы вскользь упомянуть о столь важной проблеме. Он не был достаточно искушён даже для того, чтобы (как он поведал мне однажды в Феннерзе34, когда рана ещё не зажила окончательно и давала о себе знать) последовать совету более опытных друзей, таких как Джордж Тревельян35 и Джесмонд Маккарти, которые знали, как следует 14  поступить. Наконец, он написал письмо родителям. Отчасти из-за этого инцидента вопрос о религиозности и неверии остался для Харди открытым и достаточно острым. Он всегда отказывался посещать церковь при любом колледже даже по такому формальному поводу, как выборы ректора. У Харди были клерикальные друзья, но бог был его личным врагом. Во всём этом явственно слышалось эхо XIX века, но было бы ошибкой, как всегда в случае Харди, не верить тому, что Харди говорит о самом себе.

Но и свои разногласия с Богом Харди превратил в шумный спектакль. Вспоминаю, как однажды в тридцатые годы мне довелось видеть, как Харди наслаждается небольшим триумфом. Это случилось во время матча против игроков на знаменитом крикетном стадионе «Лордз»36 в Лондоне. Игра происходила ранним утром, и солнце светило над павильоном. Один из бэтсменов, игравший за команду, которой солнце светило в спины, пожаловался, что его слепит отражение от какого-то блестящего предмета. Озадаченные судьи, приложив руки козырьком ко лбу, принялись осматривать зрительские места и ближайшие окрестности. Автомашины? Нет. Окна? Но поблизости от крикетной площадки нет ни одного здания! Наконец, с понятным торжеством один из судей обнаружил предмет, дававший яркие блики: оказалось, что солнце отражалось от большого наперсного креста на груди рослого священника. Судья вежливо попросил его снять крест. Оказавшийся поблизости Харди был вне себя от охватившего его мефистофельского восторга. Когда наступило время ленча, Харди было не до еды: он безостановочно одну за другой заполнял открытки (открытки и телеграммы были его излюбленными средствами сообщения), извещая всех своих клерикальных друзей о происшествии.

Но в войне Харди против Бога и суррогатов Бога победа не всегда была только на одной стороне. Однажды примерно в тот же период в тихий прекрасный майский вечер мы играли в крикет на площадке в Феннерзе, когда до нас донеслись удары колокола, пробившего шесть часов. «Какое несчастье, — заметил Харди с присущей ему прямотой, — что некоторые из счастливейших часов моей жизни я вынужден проводить под звуки римско-католической церкви».

Второе происшествие, нарушившее мирное течение студенческой жизни Харди, было связано с его будущей профессией. Почти со времён Наполеона и на протяжении всего XIX века в Кембридже царил культ доброго старого Математического Треножника. Англичане всегда 15  с бо́льшим доверием, чем другие народы (за исключением, возможно, имперских китайцев), относились к состязательным экзаменам. Англичане, проводившие такие экзамены, нередко проявляли поразительную косность (чтобы не сказать одеревенелость). Такое положение дел сохранилось и поныне. Но в полной мере это проявилось в отношении Математического Треножника, когда эти экзамены переживали период своего расцвета. Задачи, предлагавшиеся на этих экзаменах, в техническом плане представляли собой значительные трудности, но, к сожалению, они не давали возможность кандидату проявить своё математическое мышление, интуицию или какое-нибудь другое качество, необходимое творчески работающему математику. Претенденты на первые места (так называемые ранглеры — этот термин, утвердившийся за ними и действующий поныне, означает «первый (т.е. высший) класс») располагались в соответствии с полученными оценками в строго «арифметическом» порядке. Те из колледжей, чьи питомцы становились старшим ранглером, устраивали празднества, первые два или три ранглера немедленно избирались членами колледжей.

Всё это было очень по-английски. Математический Треножник обладал только одним недостатком, на который Харди указал с присущей ему полемической ясностью, как только стал знаменитым математиком и вместе со своим верным союзником Литлвудом включился в борьбу за отмену такой системы: Математический Треножник на протяжении более чем двух столетий разрушал в Англии серьёзную математику.

В первый же свой семестр в Тринити Харди оказался вовлечённым в систему Математического Треножника. Его готовили к экзаменам, как готовят к состязаниям скаковую лошадь, с помощью серии специально подобранных математических упражнений, бесполезность которых была ему ясна в его девятнадцать лет. Харди направили к знаменитому тренеру — репетитору, готовившему всех потенциальных старших ранглеров. Этот тренер знал все препятствия, все трюки экзаменаторов, но проявлял полнейшее равнодушие к самому предмету. Против этого восстал бы и молодой Эйнштейн: он либо покинул бы Кембридж, либо не выполнил бы ни одной формальной работы в течение ближайших трёх лет. Но Харди родился в более суровом профессиональном климате Англии (что имело как свои положительные, так и отрицательные стороны). После размышлений на тему, не стоит ли ему сменить математику на историю, Харди достало здравого смысла подыскать себе 16  в качестве наставника настоящего математика. Харди воздаёт ему должное в «Апологии»: «Глаза мне открыл профессор Ляв37, который учил меня несколько семестров и дал мне первое серьёзное представление о математическом анализе. Но более всего я признателен ему за то, что он, будучи по существу прикладным математиком, посоветовал мне прочитать «Курс анализа» Жордана38. Я никогда не забуду то изумление, которое охватило меня при чтении этой замечательной книги, ставшей источником первого вдохновения для столь многих математиков моего поколения, и я впервые понял, что такое математика в действительности. С тех пор я стал и остаюсь поныне — на свой собственный лад — настоящим математиком со здравыми математическими амбициями и подлинной страстью к математике».

В 1898 году Харди стал четвёртым ранглером. Как он неоднократно признавался, это вызвало у него слабую досаду. Природный дух состязательности, в достаточной мере присущий Харди, заставлял его считать, что хотя сама «гонка» смешна, он обязан её выиграть. В 1900 году Харди принял участие в части II Математического Треножника, экзаменах более почтенного уровня, завоевал первое место и был избран членом Тринити-колледжа.

С того времени жизнь Харди протекала по существу в раз и навсегда установленном русле. Харди знал свою цель — наведение строгости в английском математическом анализе. Он ни на йоту не отклонялся от исследований, которые называл «огромным непреходящим счастьем моей жизни». Не было никаких сомнений или беспокойства по поводу того, что ему предстоит сделать. Ни он сам, ни кто-нибудь другой не сомневались в его большом таланте. В возрасте тридцати трёх лет Харди был избран членом Королевского общества39.

Во многих отношениях Харди сопутствовала удача. Ему не нужно было заботиться о своей карьере. С тех пор, как ему исполнилось двадцать три года, у Харди было достаточно досуга, и он никогда не нуждался в деньгах. В начале 1900-х годов дон40 — холостяк из Тринити-колледжа мог чувствовать себя вполне комфортно. Харди знал счёт деньгам и расходовал их, когда, по его мнению, это было необходимо (иногда деньги тратились по довольно необычным «статьям», например, на пятидесятимильные поездки на такси), но когда речь заходила об инвестициях, Харди нельзя было считать человеком не от мира сего. Он играл в свои игры и оплачивал свои эксцентрические эскапады. Харди вращался в одном из лучших в мире интеллектуальных 17  кругов: Д. Э. Мур41, Уайтхед42, Бертран Рассел43, Тревельян, высшее общество Тринити, которое вскоре нашло художественное дополнение в Блумзбери44. (У Харди установились в Блумзбери отношения личной дружбы и симпатии.) И в этом блестящем кругу Харди был одним из самых блестящих молодых людей — и, хотя это и не бросалось в глаза, одним из самых неугомонных.

Забегу вперед и предвосхищу то, что скажу позже. Вся жизнь Харди до преклонного возраста была жизнью блестящего молодого человека. Он был молод духом: его игры, его интересы несли на себе отблеск молодого дона. И, как у многих из тех, кто до шестидесяти лет сохранил интересы молодого человека, последние годы Харди были особенно тяжелыми.

Тем не менее значительную часть своей жизни Харди прожил счастливее, чем большинство из нас. У него было множество друзей, на удивление различного толка. Всем этим друзьям пришлось пройти личные тесты Харди: они должны были обладать особым свойством, которое он называл «подкруткой» (непереводимый крикетный термин, означавший наличие непрямого, подчас иронического, подхода; из публичных фигур недавнего времени высокие оценки за «подкрутку» получили бы Макмиллан45 и Кеннеди46, но не Черчилль47 и не Эйзенхауэр48. Вмести с тем Харди был терпим, лоялен, великодушен и питал к своим друзьям искреннюю, не показную симпатию. Однажды мне пришлось навестить Харди в утренние часы, которые он неизменно отводил своим математическим исследованиям. Харди сидел за письменным столом и покрывал страницу за страницей своим красивым каллиграфическим почерком. Я пробормотал какие-то обычные вежливые слова, что-то вроде: «Надеюсь, я не очень побеспокоил Вас». Харди внезапно расплылся в своей озорной улыбке:

— Как Вы, должно быть, заметили, побеспокоили и даже очень. Но я всё равно рад Вас видеть.

За те шестнадцать лет, что мы знали друг друга, он ни разу не выразил своего дружеского отношения ко мне более демонстративно, разве что когда он лежал на смертном одре и выразил надежду, что я и впредь буду навещать его.

Думаю, что мой опыт общения с Харди разделило большинство его близких друзей. Но были у него на протяжении всей жизни два или три знакомства иного рода. Это были прочные привязанности, всецело носившие не физический, а возвышенный характер. Один из таких 18  друзей Харди, о котором я знал, был молодой человек, чья душевная организация была такой же тонкой, как у самого Харди. Думаю, хотя об этом я могу судить лишь по случайным замечаниям, что то же самое можно сказать и об остальных его знакомых. Многие люди моего поколения сочли бы такие отношения либо неудовлетворительными, либо невозможными. Но они не были ни теми, ни другими, и если не принять такие отношения за данность, невозможно понять темперамент ни таких людей, как Харди (они встречаются редко, но всё же не так редко, как белые носороги), ни кембриджское общество того времени. Харди не получал удовлетворения от того, что приносит удовлетворение большинству из нас, но он знал себя необычайно хорошо и не чувствовал себя от этого несчастным. Его внутренняя жизнь была достоянием только его одного и отличалась богатством. Горечь пришла в конце жизни. Если не считать его преданной сестры, рядом с ним не осталось никого из близких ему людей.

С сардоническим стоицизмом он замечает в «Апологии», книге, проникнутой, несмотря на радостные интонации, отчаянной грустью, что когда творческий человек утрачивает способность или желание творить, то «это достойно сожаления, но в таком случае он немногого стоит, и было бы глупо беспокоиться о нём». Именно так Харди относился к своей личной жизни вне математики. Математика была оправданием всей его жизни. Находясь рядом с Харди, в ослеплении блеском его личности, об этом легко было забыть, как под влиянием моральных пристрастий Эйнштейна было нетрудно забыть о том, что для него оправданием всей жизни был осуществляемый им поиск физических законов. Ни Харди, ни Эйнштейн не забывали об этом. Математика для одного и поиск законов природы для другого были стержнем их жизни — с юности до самой смерти.

В отличие от Эйнштейна Харди стартовал довольно медленно. Его ранние работы, выполненные с 1900 по 1911 гг., были достаточно хороши для того, чтобы обеспечить ему избрание в Королевское общество и снискать международное признание, но сам Харди не считал эти работы важными. И это было не ложной скромностью, а мнением мастера, до дюйма знающего, какая из его работ обладает ценностью и какая ценности не имеет.

В 1911 году началось сотрудничество Харди с Литлвудом, которое продолжалось тридцать пять лет. В 1913 году Харди открыл Рамануджана, и началось ещё одно сотрудничество. Все основные работы Харди 19  написаны им в соавторстве с одним из этих партнёров, в большинстве случаев — в соавторстве с Литлвудом. Это было самое значительное сотрудничество в истории математики. Ничего подобного не было ни в одной из наук и даже, насколько мне известно, ни в одной другой области творческой деятельности. Вместе они написали почти сто работ, многие из них — работы «класса Брэдмена49». Математики, не общавшиеся близко с Харди в последние годы его жизни и далёкие от крикета, неоднократно повторяли, что у Харди высшей похвалой было зачисление в «класс Гоббса50». Но это неверно: очень неохотно, поскольку Гоббс принадлежал к числу его любимцев, Харди изменил свою шкалу заслуг и достоинств. Однажды, году в 1938, я получил от Харди открытку, на которой значилось: «Брэдмен на целый класс выше любого бэтсмена, который когда-либо жил на Земле. Если Архимед, Ньютон и Гаусс остаются в классе Гоббса, то мне придётся признать возможность существования ещё более высокого класса, который мне даже трудно представить. Отныне их следовало бы перевести в класс Брэдмена».

Исследования Харди–Литлвуда занимали ведущее положение в английской чистой математике и во многом определяли положение дел в мировой чистой математике на протяжении целого поколения. Сейчас ещё слишком рано судить, говорят мне математики, насколько они изменили развитие математического анализа и насколько важными их будут считать через сто лет. Но в том, что эти работы имеют непреходящее значение, нет никакого сомнения.

Сотрудничество Харди и Литлвуда было, как я уже говорил, величайшим из всех известных случаев сотрудничества. Но как именно они работали, неизвестно никому, разве что какие-то детали стали известными со слов Литлвуда. Я уже приводил мнение Харди о том, что из них двух Литлвуд был более сильным математиком. Однажды Харди написал, что не знает «никого другого, в ком интуиция, техника и сила сочетались бы так удачно». Литлвуд был и остаётся поныне более обычным человеком, чем Харди, но столь же интересным и, возможно, более сложным. Литлвуд не разделял любовь Харди к особо утончённому интеллектуальному блеску и поэтому держался несколько в стороне от центра академической сцены. Это давало европейским математикам повод для различного рода шуток. Например, они утверждали, будто Харди придумал Литлвуда для того, чтобы возлагать на него вину, если в доказательстве какой-нибудь из их теорем обнаружится ошибка. 20  В действительности же Литлвуд был столь же яркой и самобытной личностью, как и сам Харди.

На первый взгляд ни один из них не был лёгким партнёром. Трудно представить себе, чтобы кто-нибудь из них мог первым предложить сотрудничество другому. Тем не менее кто-то из них взял на себя первый шаг. Никаких сведений о том, как они поладили, не сохранилось. В свой самый продуктивный период Харди и Литлвуд не работали в одном университете. По утверждению Харальда Бора51 (превосходного математика, брата Нильса Бора), один из принципов их сотрудничества заключался в следующем: если один писал письмо другому, то получатель не должен был в обязательном порядке ни отвечать на письмо, ни даже прочитать его.

Мне нечего к этому добавить. За много лет Харди успел поведать мне о многом, но ни словом не обмолвился о своём сотрудничестве с Литлвудом. Разумеется, он говорил о том, что их сотрудничество было самой крупной удачей в его карьере как математика, о Литлвуде он всегда отзывался так, как уже было сказано выше, но ни разу не упомянул о том, как происходило их сотрудничество. Я недостаточно разбираюсь в математике, чтобы понять работы, но кое-что из их языка я усвоил. Если бы Харди обронил хотя бы одно замечание о том, как строилось их сотрудничество с Литлвудом, то я бы не оставил его без внимания. Я ничуть не сомневаюсь, что такая секретность, совершенно нехарактерная для Харди в вопросах, носивших более интимный характер, была умышленной.

Наоборот, из своего открытия Рамануджана Харди не делал никакого секрета. По его собственным словам, это было романтическое приключение в его жизни. Как бы то ни было, история была действительно замечательная, причём такая, которая делает честь почти всем действующим лицам (за исключением двух). Однажды утром в начале 1913 года Харди обнаружил за завтраком среди утренней почты большой замызганный конверт с индийскими марками. Вскрыв его, Харди обнаружил несколько листков бумаги, измятых и измаранных, сплошь покрытых формулами, написанных от руки явно не англичанином. Харди стал просматривать записи без особого энтузиазма. К тому времени, в возрасте тридцати шести лет, он был всемирно известным математиком, а математики с мировым именем, как он уже успел испытать на своём собственном опыте, как магнитом притягивают к себе различных чудаков. Харди уже привык получать от совершенно незнакомых людей 21  рукописи, в которых их авторы раскрывали тайны пирамиды Хеопса, пророчества сионских мудрецов или криптограммы, которые Бэкон52 вставил в пьесы так называемого Шекспира53.

Поэтому Харди вскрыл письмо, мягко говоря, без особого интереса. Бегло просмотрев начальные строки, он выяснил, что письмо написано на ломаном английском каким-то неизвестным индийцем, просившем Харди высказать своё мнение по поводу сделанных автором письма математических открытий. Перечень открытий состоял из теорем, большинство которых были весьма причудливыми и не внушали доверия, а одна или две теоремы были хорошо известны, но сформулированы так, словно автор открыл их самостоятельно. Никаких доказательств ни одной из теорем автор письма не приводил54. Харди был не только раздосадован, но и немного раздражён. Ему показалось, что письмо было не совсем обычным розыгрышем. Он отложил листки в сторону и занялся повседневной рутиной. Так как установившийся распорядок дня не менялся на протяжении всей жизни Харди, мне легко восстановить его. За завтраком Харди прежде всего прочитал «Таймс». Дело происходило в январе, и если в газете были сообщения о крикетных матчах в Австралии, то Харди начинал именно с них и прочитывал внимательнейшим образом, запоминая счёт в исходе каждой встречи.

Мейнард Кейнс55, начинавший свою карьеру как математик и бывший другом Харди, однажды ворчливо заметил, что если бы тот читал известия с фондовой биржи по полчаса в день с таким же сосредоточенным вниманием, с каким читает отчёты о крикетных матчах, то просто не мог бы не разбогатеть.

С девяти до часу, если Харди не должен был читать лекции, он занимался своей собственной математикой. По его словам, четыре часа творческой работы в день — почти предел для математика. Затем следовал ленч — лёгкий завтрак в холле56. После ленча Харди обычно отправлялся поиграть в теннис на университетском корте. (В летнее время он мог отправиться посмотреть крикетный матч в Феннерз.) К концу дня Харди пешком возвращался домой. В тот день распорядок нарушен не был, но привычный ход мыслей всё же оказался возмущённым. Харди, как всегда, с наслаждением отдавался игре, но его беспокоили присланные из Индии теоремы самого дикого свойства. Такие теоремы ему, Харди, не приходилось видеть никогда раньше, нормальному математику они не могли пригрезиться даже в бреду. Может быть, кто-то решил подшутить и разыграть из себя гения? Такой 22  вопрос напрашивался у Харди. А поскольку вопрос возник в уме у Харди, то сформулирован он был предельно чётко и не без иронии: что более вероятно, вопрошал себя Харди, — отправитель письма или обманщик, разыгрывающий из себя гения, или никому не известный математический гений? Ясно, что вторая возможность более вероятна. Вернувшись в Тринити, Харди перечитал письмо ещё раз. Он отправил короткую записку Литлвуду (вероятно, с посыльным, но заведомо не передал её содержание по телефону, к которому, как и ко всяким механическим устройствам и приспособлениям, питал непреодолимое отвращение), приглашая его встретиться в трапезной колледжа, чтобы обсудить нечто важное.

После обеда возникала приятная пауза. Харди любил выпить стаканчик вина, но вопреки роскошным сценам из кембриджской жизни «Алана Сент-Обина», обнаружил, что ему не доставляет удовольствия проводить часы в профессорской над стаканом портвейна и жареными каштанами. Это скорее было по части Литлвуда, не чуравшегося простых радостей жизни. Итак, говорю я, после обеда могла наступить пауза. Как бы то ни было, около девяти часов вечером они оба находились в одной из комнат в апартаментах Харди и внимательно вчитывались в лежащие перед ними листки.

Дорого бы я дал, чтобы присутствовать при той беседе. Харди, с его характерной безжалостной ясностью суждений и интеллектуальным щегольством (Харди был англичанином до мозга костей, но в его рассуждениях проскальзывали черточки, которые латинские умы часто признают своими), Литлвуд с его богатым воображением, преисполненный сил, склонный многое видеть в юмористическом свете. Вряд ли им потребовалось много времени. Ещё до полуночи им стало ясно: автор письма — вне всяких сомнений гений. Большего в тот вечер они сказать не могли. Позднее Харди пришёл к заключению, что Рамануджан, если говорить о нём как о природном математическом гении, был гением того же класса, что Гаусс и Эйлер, но ожидать от него результатов того же масштаба не следовало, принимая во внимание пробелы в его образовании и то, что в истории математики он появился на сцене слишком поздно.

Всё это звучит вполне естественно. Именно так и должны были судить выдающиеся математики. Но я не могу не упомянуть ещё о двух персонах, которые не сумели найти достойного выхода из истории с Рамануджаном. Из рыцарских соображений Харди ни словом не обмолвился 23  о них ни в своих устных, ни в письменных выступлениях о Рамануджане. Сейчас тех двух, которых я имею в виду, уже много лет нет на свете, и поэтому пришло время рассказать всю правду. Всё очень просто. Харди был не первым знаменитым математиком, получившим от Рамануджана письмо с изложением полученных им результатов. До него было ещё двое, оба англичане, оба математики высочайшего класса. Оба вернули полученные письма без каких бы то ни было комментариев. Не думаю, чтобы история сохранила, что они говорили (если вообще высказывались на эту тему) потом, когда Рамануджан стал знаменитостью. Каждый, кому случалось получать корреспонденцию от неизвестного отправителя, втайне посочувствует им.

Но как бы то ни было, уже на следующий день Харди приступил к активным действиям. Он решил, что Рамануджана необходимо доставить в Англию. Деньги не были большой проблемой. Тринити57 обычно оказывал щедрую поддержку выдающимся талантам (несколькими годами позже аналогичную поддержку колледж оказал Капице58. Как только Харди принял решение, остановить приезд Рамануджана было уже вне человеческих сил. А вот помощь со стороны сверхчеловеческих сил им бы не помешала.

Рамануджан оказался бедным клерком из Мадраса, живущим с женой на двадцать фунтов в год. К тому же он был брамином, необычайно строго соблюдавшим религиозные предписания, а его мать соблюдала их ещё строже. Казалось невозможным, что он сможет нарушить эти предписания и пересечёт океан. К счастью, мать Рамануджана питала глубочайшее почтение к богине Намаккаль. Однажды утром мать Рамануджана поведала удивительную историю. Предыдущей ночью она увидела во сне своего сына, сидящего в большом зале в окружении европейцев, и богиня Намаккаль приказала ей не становиться на пути сына к выполнению его жизненного предназначения. По словам индийских биографов Рамануджана, это было весьма приятным сюрпризом для всех участников событий.

В 1914 году Рамануджан прибыл в Англию. Насколько удалось выяснить Харди (хотя в этом отношении я не стал бы особенно доверять его проницательности), Рамануджан, несмотря на то, что он с трудом шёл на нарушение религиозных предписаний, не очень верил в теологическую доктрину, за исключением разве что смутной предрасположенности к пантеизму, ничуть не больше, чем сам Харди. Но заведомо верил в ритуал. Когда Тринити принял его в состав колледжа (через четыре 24  года он стал членом (fellow) Тринити-колледжа), его образ жизни мало походил на описанный в «Алане Сент-Обине». Харди обычно заставал Рамануджана ритуально переодетым в пижаму и готовящим свою скудную трапезу — овощи — на сковороде в собственной комнате.

Духовная связь, установившаяся между ними, была удивительно трогательной. Харди не забывал, что находится в присутствии гения, но этот гений даже в области математики был почти необразован. Рамануджан не мог поступить в Мадрасский университет, так как преподавание там велось на английском языке, которым он тогда не владел. По словам Харди, Рамануджан всегда вёл себя дружески и был добродушным, но, несомненно, разговоры Харди на нематематические темы его иногда немало озадачивали. Тем не менее он неизменно выслушивал всё с терпеливой улыбкой на своём добром, дружеском и таком родном лице. Разница в их образовании сказывалось и в их разговорах на чисто математические темы. Рамануджан был самоучкой: он ничего не знал о современной математической строгости, в каком-то смысле он даже пребывал в неведении относительно того, что такое математическое доказательство. Однажды Харди в минуту несвойственной ему сентиментальности заметил, что если бы Рамануджан был лучше образован, то он был бы меньше Рамануджаном. Позднее в своей обычной иронической манере он поправил себя и заявил, что приведённое мной утверждение было глупостью. Если бы Рамануджан был лучше образован, то его математический талант расцвёл бы ещё ярче. В действительности Харди пришлось немного учить Рамануджана математике, как если бы тот был кандидатом на получение стипендии в Уинчестер. Харди говорил, что это был самый необычный опыт в его жизни: как выглядит современная математика в глазах того, кто обладает глубочайшей математической интуицией, но буквально ничего не слышал о большей части современной математики?

Как бы то ни было, Харди и Рамануджан написали вместе пять работ высочайшего класса, в которых Харди проявил оригинальность своего мышления (о сотрудничестве Харди с Рамануджаном известно больше деталей, чем о сотрудничестве Харди с Литлвудом). Щедрость и воображение, проявленные одновременно, были полностью вознаграждены.

Это — история о человеческой добродетели, коль скоро люди начали вести себя лучше. Уместно вспомнить, что Англия воздала Рамануджану все почести, какие только были возможны. Королевское общество 25  избрало его своим членом в возрасте тридцати лет (очень молодом даже для математика). В том же году Тринити избрал его своим членом. Он стал первым индийцем, удостоенным таких отличий. Рамануджан отвечал любезной благодарностью. Но вскоре он заболел. Перевезти его в более мягкий климат в условиях военного времени было трудно.

Харди часто навещал Рамануджана, когда тот, умирая, находился в больнице в Патни59. Именно в одно из таких посещений произошёл «инцидент» с номером такси. Харди приехал в Патни на такси, воспользовавшись своим излюбленным транспортным средством. Он вошёл в палату, где лежал Рамануджан. Начинать разговор Харди всегда было мучительно трудно, и он произнес свою первую фразу: «Если не ошибаюсь, то номер такси, на котором я приехал, 1729. Мне кажется, это скучное число». На что Рамануджан тотчас же ответил: «Нет, Харди! О нет! Это очень интересное число. Это самое малое из чисел, представимых в виде суммы двух кубов двумя различными способами».

Этот диалог Харди записал по возвращении домой. В его точности сомневаться не приходится. Кроме того, никто не мог придумать такое.

Рамануджан умер от туберкулеза в Мадрасе через два года после окончания войны. Как писал Харди в «Апологии» в мартирологе математиков, «Галуа умер в двадцать один, Абель в двадцать семь, Рамануджан в тридцать три, Риман в сорок... Я не знаю примера существенного продвижения в математике, которое было бы инициировано человеком старше пятидесяти.»

Если бы не сотрудничество с Рамануджаном, годы Первой мировой войны 1914–1918 гг. были бы для Харди более мрачными. Они остановили рану, которая повторно открылась в годы Второй мировой войны. Всю свою жизнь Харди придерживался радикальных мнений. Впрочем, его радикализм имел привкус просвещения, времён стыка веков. Для людей того поколения казалось, что воздух в тот период был легче, более невинным, чем тот, которым дышали мы.

Подобно многим из его интеллектуальных друзей эпохи правления короля Эдуарда VII60, Харди питал глубокие симпатии к Германии. Именно Германия была великой просветительной силой девятнадцатого века. Восточную Европу, Россию, Соединенные Штаты немецкие университеты учили тому, что составляет самый смысл научного исследования. Харди не слишком много черпал из немецкой философии или немецкой литературы — его вкусы были слишком классическими для 26  этого. Но в большинстве своих аспектов немецкая культура казалась ему более высокой, чем его собственная.

В отличие от Эйнштейна, обладавшего несравненно более реалистическим опытом политического существования, Харди не очень много знал о Германии Вильгельма II61 из первых рук. И хотя Харди был наименее тщеславным из людей, человеческое было бы присуще ему в меньшей степени, если бы его не радовало, что в Германии его ценят больше, чем в собственной стране. К периоду, о котором идёт речь, относится один лестный для Харди анекдот. Один из крупнейших математиков Гильберт прослышал о том, что Харди живет в Тринити (в действительности в Уивелле Корте) не в самых лучших апартаментах. Гильберт тотчас же отправил письмо Мастеру62 Тринити-колледжа, в котором в самых изысканных выражениях просил того обратить внимание на то, что Харди — лучший математик не только в Тринити, но и во всей Англии, и поэтому ему следует отвести самые лучшие апартаменты.

Подобно Расселу и многим другим представителям верхних слоев кембриджской интеллигенции, Харди был против участия в войне63. Кроме того, он с его глубоко укоренившимся недоверием к английским политикам полагал, что чаша зла опустилась со стороны Англии ниже, чем со стороны Германии. Найти удовлетворительные обоснования для сознательных возражений Харди никак не удавалось: его интеллектуальная строгость была слишком сильна для этого. Он вызвался идти добровольцем на воинскую службу по схеме Дерби и был отвергнут по медицинским показаниям. В Тринити Харди ощущал себя всё более изолированным по мере того, как колледж захлестывала волна крикливой воинственности.

В чрезмерно осложнившейся обстановке Рассел был отстранен от чтения лекций (единственный подробный отчёт о случившемся Харди написал лишь четверть века спустя, чтобы обрести хотя бы какой-то внутренний покой в другой войне). Близкие друзья Харди ушли на войну. Литлвуд в звании второго лейтенанта64 выполнял баллистические расчёты в королевской артиллерии. Благодаря своему жизнерадостному безразличию Литлвуд так и не был удостоен отличия: все четыре года войны он так и прослужил вторым лейтенантом. Сотрудничество с Харди затруднилось, но не прервалось полностью. Утешением Харди во время стычек в колледже, доставлявших ему немало горьких минут, оставалась работа с Рамануджаном. 27 

Иногда мне кажется, что Харди не всегда был прав в отношении своих коллег. Некоторых из них вполне можно было считать утратившими разум, но во время войны люди действительно сходят с ума. Но некоторые члены колледжа глубоко страдали и пытались сделать всё, что было в их силах, чтобы поддерживать социальные связи. В конечном счёте уже одно то, что они избрали членом колледжа протеже Харди Рамануджана в то время, когда Харди едва здоровался с одними членами колледжа и не разговаривал с другими, свидетельствует о триумфе их усилий, направленных на поддержание академических традиций.

И всё же Харди был глубоко несчастлив. И как только ему представилась возможность, он покинул Кембридж. В 1919 году ему предложили кафедру в Оксфорде, и Харди немедленно отправился в самый счастливый период своей жизни. К тому времени он уже выполнил немало работ с Рамануджаном и Литлвудом, но теперь сотрудничество с Литлвудом достигло своего расцвета. Харди был, если воспользоваться выражением Ньютона, «в самой поре своей жизни, подходящей для изобретений», и наступила эта пора, когда ему исполнилось сорок с небольшим лет — необычайно поздно для математика.

Столь поздний прилив творческих сил вызвал у Харди ощущение непреходящей молодости — ощущение, имевшее для него более важное значение, чем для других людей. Он вёл образ жизни молодого человека, что полностью отвечало его натуре. Харди стал больше играть в теннис, и класс его игры непрестанно повышался (теннис был дорогой игрой, и на него уходила изрядная доля профессорского дохода). Харди неоднократно бывал в американских университетах и полюбил Америку. Он был одним из немногих англичан своего времени, который с симпатией — примерно одинаковой — относился к Соединенным Штатам и Советскому Союзу. Харди был заведомо единственным англичанином как своего, так и любого другого времени, обратившимся к членам Комиссии по бейсболу с серьёзным предложением внести техническую поправку в одно из правил. Для Харди и большинства либералов его поколения двадцатые годы стали «ложным рассветом». Он полагал, что тяготы войны навсегда ушли в прошлое.

В Нью Колледже65 он чувствовал себя, как дома, что никогда не ощущал в Кембридже. Теплая домашняя атмосфера дружеских бесед Оксфорда благотворно действовали на него. Именно там, в Нью Колледже, в то время небольшом и интимном, Харди усовершенствовал свою манеру вести разговор. Именно там всегда находилась компания, 28  охотно слушавшая его после трапез. Члены колледжа спокойно относились к его эксцентрическим поступкам. Он был не только выдающимся математиком и хорошим человеком, достоинства которого они признавали, но и неутомимым «заводилой» по части развлечений. Если Харди хотел играть в словесные игры или в какие-нибудь игры на крикетном поле (подчас по довольно головоломным правилам), то они с готовностью исполняли роль статистов. В человеческом плане и по каждому поводу они поднимали шум вокруг него. Им восхищались и его ценили и прежде, но такого шума никто не поднимал.

Никому не было никакого дела до того (хотя по колледжу по этому поводу ходило немало шуток), что у себя в покоях Харди хранил большую фотографию Ленина. Радикализм Харди был несколько неорганизованным, но вполне реальным. Харди родился, как я уже объяснял, в семье профессионалов, почти всю свою жизнь он провёл в среде высшей буржуазии, но вёл себя скорее, как аристократ, точнее, как одна из романтических проекций аристократа. Возможно, что в чём-то Харди подражал своему другу Бертрану Расселу. Но в целом его поведение было врождённым. При всей своей скромности Харди преспокойно игнорировал многое и многих.

Он легко, не впадая в покровительственный тон, находил общий язык с бедными, несчастными, робкими, — со всеми, кто оказался гандикапированным в жизненной гонке (весьма символичен в этом отношении такой штрих судьбы, как открытие им Рамануджана). Обездоленных Харди предпочитал тем, кого он называл широкозадыми — характеристика скорее психологическая, чем физиологическая, хотя в XIX веке в Тринити существовал знаменитый афоризм, принадлежащий Адаму Седжвику: «Никто в этом мире не добивался успеха, не имея широкого зада». Для Харди широкозадыми были самоуверенные процветающие империалистические буржуазные англичане. Этим эпитетом он награждал большинство епископов, директоров школ, судей и всех политиков за исключением Ллойда Джорджа.

Чтобы продемонстрировать свою лояльность, Харди однажды согласился занять общественный пост. В течение двух лет (1924–1926) он был президентом Ассоциации научных работников. Сам Харди саркастически заметил по поводу своего избрания, что выбор кажется ему странным, поскольку пал на «самого непрактичного представителя самой непрактичной профессии в мире», но в важных делах Харди был не столь уж непрактичен. Он упорно отстаивал свою точку зрения и заставлял 29  считаться с собой. Гораздо позже, когда мне случалось поработать с Фрэнком Казинзом, меня охватывала тихая радость при мысли о том, что у меня было ровно два друга, занимавших пост в профсоюзном движении, — Фрэнк Казинс и Г. Г. Харди.

В то позднее, не совсем «бабье», лето в Оксфорде в конце двадцатых годов Харди был столь счастлив, что многие сомневались, вернётся ли он когда-нибудь в Кембридж. И всё же в 1931 году Харди вернулся. Мне кажется, что для этого были две причины. Первая, решающая, состояла в том, что он был высочайшим профессионалом. Кембридж всё ещё оставался центром английской математики, и главная кафедра математики была подходящим местом для профессионала. Вторая, несколько неожиданная, причина состояла в том, что Харди стал всерьёз задумываться о своём преклонном возрасте. Оксфордские коллеги, столь человечные и тёплые во многих отношениях, безжалостны к старикам: если он останется в Нью Колледже, то его неминуемо выдворят из занимаемых апартаментов, как только он в возрасте шестидесяти пяти лет уйдёт в отставку с должности профессора. Если же он вернётся в Тринити, то сможет оставаться там в колледже до самой смерти. Именно это он и сделал.

По возвращении в Кембридж (именно тогда я и познакомился с ним) Харди находился в лучах былой славы. Он всё ещё был счастлив. Всё ещё мог творить, правда, не столь интенсивно, как в двадцатые годы, но достаточно для того, чтобы он ещё ощущал свои силы. Для меня было счастьем видеть его в почти наилучшей форме.

Когда между нами установились дружеские отношения, мы завели обычай зимой приглашать друг друга на обед, который поочередно устраивали у себя в колледжах раз в две недели. Когда же наступало лето, мы, разумеется, регулярно встречались на крикетной площадке. За исключением особых случаев Харди по утрам занимался математикой и прибывал в Феннерз только после ленча. Он шёл по гаревой дорожке большими шагами, слегка прихрамывая и тяжело ступая (стройный, сухощавого сложения, он сохранил физическую активность, и когда ему было под шестьдесят, продолжал играть в теннис), опустив голову. Волосы, галстук, свитер и бумаги — всё струилось и развевалось. Такая фигура не могла не привлекать всеобщее внимание. «Разрази меня гром, вон идёт древнегреческий поэт!» — воскликнул однажды один весёлый фермер при виде Харди, проходившего у доски, на которой отмечали счёт игры. Харди облюбовал себе местечко напротив павильона, 30  откуда он мог ловить каждый солнечный луч — он был страстным гелиотропом66. Чтобы «обмануть» солнце и заставить его сиять даже в пасмурный день, Харди обычно приносил с собой (даже в ясный майский полдень) то, что он называл «батареей против Бога». Батарея состояла из трёх или четырёх свитеров, зонта, принадлежащего его сестре, и большого конверта, в котором находились математические рукописи: диссертации на соискание степени Ph.D.67, статья, присланная ему на рецензию из Королевского общества, или решения задач на очередном конкурсе «Математический Треножник». Знакомым Харди охотно объяснял, в чём смысл «батарей»: Господь Бог, увидев, что он, Харди, ожидает плохую погоду и намеревается под этим предлогом поработать, устроит всё вопреки его ожиданиям, и небо останется безоблачным.

Добравшись до своего излюбленного места, Харди усаживался. Удовольствие от созерцания продолжительного крикетного матча было полным, если вовсю светило солнце и у Харди находился компаньон, с которым он мог разделить приятные моменты. Техника, тактика, формальная красота — таковы были для него более притягательные аспекты игры. Я даже не пытаюсь объяснить их: передать это невозможно, если не знать языка игры в крикет, как невозможно объяснить некоторые из классических афоризмов Харди, если не знать либо языка крикета, либо языка теории чисел (лучше всего, если известны оба языка). К счастью для очень многих наших друзей, Харди имел вкус к человеческой комедии.

Он первым опроверг бы утверждение о том, что обладает какой-то специфической физиологической способностью читать чужие мысли. Но он был одним из умнейших людей, не закрывал глаз на окружающее, много читал и выработал хорошее обобщённое представление о человеческой природе — твёрдое, снисходительное, сатирическое и совершенной лишенное морального тщеславия. Харди был духовно искренен, как немногие люди (сомневаюсь, чтобы кто-нибудь был более искренен), и приходил в шутливый ужас от претенциозности, самодовольной напыщенности и всего торжественного набора лицемерных добродетелей. Ныне крикет, прекраснейшая из игр, также страдает лицемерием. Принято считать, что крикет является наивысшим выражением командного духа. Лучше получить 0 очков и увидеть, что победила та команда, за которую выступаешь, чем получить 100 очков и увидеть поражение своей команды (один весьма выдающийся игрок в крикет, человек такой же незамутнённой искренности, как Харди, однажды мягко заметил, 31  что ему никогда не удавалось заставить себя думать подобным образом). Этот особый этос68 способствовал развитию у Харди чувства смешного. Отвечая кому-нибудь, он имел обыкновение изрекать уравновешенные максимы. Например,

«Крикет — единственная игра, в которой вы играете против одиннадцати игроков другой команды и десяти игроков своей.»

«Если вы нервничаете, когда вам предстоит войти первым, то ничто не подействует на вас более успокаивающе, чем созерцание другого человека, который выходит.»

Если его слушателям везло, то им случалось слышать и другие замечания, не связанные с крикетом, но одинаково острые и в устной, и в письменной речи Харди. Несколько типичных образцов таких высказываний мы находим в «Апологии». Вот ещё несколько примеров.

«Человеку первого класса не стоит терять время на то, чтобы выразить мнение большинства. По определению, найдётся много других людей, которые сделают это за него.» «В бытность мою студентом всякий желающий, если бы он придерживался достаточно неортодоксальных взглядов, мог бы высказать мнение о том, что Толстой, как романист, подошёл трогательно близко к Джорджу Мередиту69. Разумеется, никто другой высказать подобное мнение не мог бы.» (Это было сказано по поводу интоксикаций, вызванных модой: следует помнить, что Харди принадлежал к одному из самых блестящих поколений в истории Кембриджа.)

«Для любой сколько-нибудь серьёзной цели разум — дар очень маленький». (Сказано после того, как кто-то пытался убедить Харди в том, что «Поминки по Финнегану»70 — последний литературный шедевр.)

«Иногда приходится рассказывать трудные вещи, но их следует рассказывать как можно проще.»

Иногда, когда Харди присутствовал на крикетном матче, его интерес к игре падал, он переставал следить за каждым шаром и, предлагая нам составить крикетные команды из жуликов, завсегдатаев клубов, лжепоэтов, зануд, исторических личностей, чьи имена начинаются с Га (Иногда фамилия Hardy переводится как Гарди. — Прим. перев.) (номерами один и два в такой команде были бы Ганнибал71 и Гамилькар72), просил перечислить все команды, которые когда-либо выступали за Тринити-колледж, Крайст-колледж и т.д. В играх такого рода я всегда проигрывал: пусть кто-нибудь попробует составить команду 32  из мировых знаменитостей, фамилии которых начинаются с букв Сн. Команда Тринити-колледжа недосягаемо сильна (на участие в ней претендуют Максвелл73, Байрон74, Теккерей75, Теннисон76 — их даже трудно распределить по номерам), команда Крайст-колледжа имеет сильных игроков под номерами один и два (Мильтон77 и Дарвин78), но начиная с номера три ей трудно выставить кого-нибудь стоящего.

Было у Харди и другое любимое развлечение. «Оцените по очкам того человека, которого мы встретили вчера вечером», — обращался он к кому-нибудь, и тому нужно было оценить по стобалльной системе встреченного накануне, охарактеризовав его по каждой из категорий, давным-давно изобретённых и определённых Харди: решительный, бледный («решительный человек не обязательно бледен, но все бледные люди без исключения хотят, чтобы их считали решительными»), бестолковый, старое бренди, юла и некоторые другие. Решительный, бледный и бестолковый не нуждается в пояснениях (герцог Веллингтон79 заведомо удостоился бы ста очков по разрядам «решительный» и «бледный» и получил бы ноль очков по разряду «бестолковый».) Категория «старое бренди» обязана своим происхождением некоему мистическому персонажу, который утверждал, что никогда не пил ничего, кроме старого бренди. Следовательно, с помощью экстраполяции можно заключить, что «старое бренди» означает вкус эксцентрический, эзотерический, но в пределах разумного. Как личность (а по мнению Харди, с которым я не согласен, и как писатель) Пруст80, равно как и Ф. А. Линдеманн (впоследствии лорд Черуэлл), получил бы немало очков в этой категории.

Летние дни прошли. После одного из кембриджских сезонов должен был состояться крикетный матч с участием команды кембриджского университета. Условиться с Харди о встрече в Лондоне не всегда было просто, поскольку, как я уже упоминал, он с болезненной подозрительностью относился ко всякого рода механическим устройствам (никогда не пользовался наручными часами). Особое недоверие у Харди вызывал телефон. Когда мне случалось бывать у него в его апартаментах в Тринити-колледже или на лондонской квартире на Сент-Джордж сквер, он обычно говорил неодобрительным и слегка зловещим тоном: «Если вам не терпится поговорить по телефону, то он в соседней комнате». Однажды ему понадобилось срочно позвонить мне, и он произнес в трубку сердитым голосом: «Не могу разобрать ни слова из того, что вы говорите, поэтому как только я закончу говорить, сразу повешу трубку. 33  Очень важно, чтобы вы приехали ко мне сегодня от девяти до десяти часов вечера». И повесил трубку.

Тем не менее на матч с участием кембриджской команды Харди прибыл пунктуально. Там, на стадионе, он блистал год за годом. Окружённый друзьями, мужчинами и женщинами, он полностью освобождался от скромности. Он был в самом центре нашего всеобщего внимание, и это отнюдь не было ему неприятно. Иногда взрывы смеха, доносившиеся из окружавшей его компании, можно было слышать примерно на четверти расстояния, равного длине дорожки вокруг крикетной площадки.

В те последние из счастливых лет его жизни всё, что делал Харди, отличалось порядком и чувством стиля. Крикет — игра изящная и упорядоченная, и удивительно поэтому, что Харди находил в ней формальную красоту. Его математические работы, как мне говорили, обладали такими же эстетическими свойствами — вплоть до самых последних работ. У меня создалось впечатление, что при личном общении Харди выступал в роли артиста разговорного жанра. В какой-то мере так и было, но в «нетривиальных» (по его выражению) случаях (нетривиальность означала, что происходящее важно для всех участников события) он превращался в серьёзного и сосредоточенного слушателя. Из других знаменитых личностей, которых мне в силу различных случайных стечений обстоятельств довелось знавать в тот же период, Уэллс как слушатель в целом был хуже, чем можно было ожидать, Резерфорд был явно лучше, а Ллойд Джордж был одним из лучших слушателей. Харди не впитывал впечатления и знания с чужих слов, как Ллойд Джордж, но с готовностью предоставлял свой разум в распоряжение другим. Услышав о замысле моего романа «Мастера» за несколько лет, как я написал его, Харди подверг меня тщательнейшему допросу, во время которого говорить в основном пришлось мне. Он высказал несколько удачных идей. Я бы хотел, чтобы он смог прочитать книгу. Возможно тогда она понравилась бы ему больше. В надежде на это я посвятил «Мастера» его памяти.

В «Примечании», помещённом в конце «Апологии», Харди упоминает о других дискуссиях. Одна из них была длительной, напряжённой, и обе стороны в ходе её не раз выходили из себя. Дело в том, что во время Второй мировой войны каждый из нас страстно отстаивал своё мнение, причём, как я расскажу немного позже, мы придерживались различных мнений. Мне не удалось сдвинуть Харди в его мнении ни на 34  дюйм. Тем не менее, хотя нас разделяло море эмоций, в рациональном плане Харди признавал то, что я говорил. И так было всегда, о чём бы мы с ним ни спорили.

В тридцатые годы Харди вёл образ жизни молодого человека, но в своей собственной версии. Внезапно всё нарушилось. В 1939г. он перенес тромбоз коронарных сосудов. Харди оправился от болезни, но теннис, сквош81, физические нагрузки, которые он так любил, надолго стали не для него. Война ещё больше омрачила его существование, как некогда Первая мировая война. Для Харди обе мировые войны были связаны между собой актами безумия, в которых мы все были повинны. Он не мог идентифицировать себя с войной, как это уже было с ним в 1914 году, хотя было ясно, что Англия непременно выживет. Один из его ближайших друзей трагически погиб. Наконец (а я глубоко убежден, что все постигшие его беды были взаимосвязаны), его творческие силы как математика покинули его. Харди тогда было за шестьдесят.

Вот почему «Апология математика», если читать её с тем вниманием к тексту, которое она заслуживает, — книга, пронизанная неизбывной печалью. Да, она блещет остроумием и игрой ума, да, её всё ещё отличает кристальная ясность и искренность, да, это завещание художника-творца. И вместе с тем «Апология математика» — это стоически сдержанный сокрушённый плач по творческим силам, которые некогда были и никогда не вернутся снова. Я не знаю ничего подобного в художественной литературе, отчасти это объясняется тем, что большинство людей, наделённых литературным даром, позволяющим выразить такое сожаление об утраченных силах, никогда не ощущают его: писатель очень редко сознает со всей определённостью окончательной истины, что как художник он абсолютно кончен.

Наблюдая Харди в те годы, я не мог не думать о той цене, которую он платил за свой образ жизни молодого человека. Это было всё равно, как наблюдать за великим спортсменом, многие годы гордившимся своей молодостью и спортивной формой и бывшем намного моложе и жизнерадостнее нас и вдруг осознавшем, что его дар безвозвратно утерян. Обычно приходится встречать великих спортсменов, которые, как они это называют, перевалили за вершину холма: ноги быстро наливаются свинцовой тяжестью (наметанный глаз сохраняет точность дольше), удары ракеткой получаются не такими, как хочется, Уимблдон82 начинает внушать опасения, а толпы зрителей предпочитают ходить на выступления кого-нибудь другого. Дойдя до такой «точки», 35  многие спортсмены начинают пить. Харди не запил, но впал в состояние, близкое к отчаянию. Физически он достаточно оправился от болезни и мог позволить себе минут десять «помахать ракеткой» у сетки и поиграть в крикет по собственным правилам (со сложной системой начисления очков форы). Но пробудить интерес у него часто бывало трудно, а ещё три-четыре года назад его интерес ко всему был настолько ярким и брызжущим, что порой бывал утомительным для нас. «Никто не должен скучать» гласила одна из его аксиом. «Можно ужасаться, питать отвращение к чему-нибудь, но скучать не следует никогда». Теперь Харди часто просто скучал.

Именно поэтому некоторые из его друзей, в том числе и я, побудили его написать историю Бертрана Рассела и Тринити в 1914–1918 гг. Те, кто не знал, какую глубокую депрессию переживал Харди, считали, что тот период давно ушёл в прошлое и возрождать его не следует. Однако истинная причина заключалось в нашем желании пробудить Харди от депрессии, дать ему какую-то цель в жизни. Воспоминания были написаны и циркулировали приватным образом. Они так и не стали достоянием широкой публики, о чём можно только сожалеть, поскольку эти воспоминания были дополнением к истории университета, хотя и в мелком масштабе.

Я настолько уверовал в благотворность писания мемуаров, что стал побуждать Харди к написанию ещё одной книги, которую он обещал мне написать в более счастливые дни. Книга должна была называться «День на «Овале»83. Сюжет был прост: Харди целый день проводил на стадионе, наблюдая за крикетными матчами и пускаясь в рассуждения о крикете, человеческой природе, предаваясь воспоминаниям. Книга обещала стать эксцентрической малой классикой, но так и не была написана.

В те последние годы я не был особенно полезен Харди. Военный Уайтхолл84 поглощал всё моё время, я был чрезмерно занят и нередко сильно уставал. В ту пору я предпринял было попытку перебраться в Кембридж. Но, по-видимому, для этого нужно было прикладывать больше и чаще усилий, чем я это делал. Должен признаться с сожалением, что отношения между Харди и мной не то чтобы охладели, но во взаимной симпатии появилась трещина. Харди предоставил мне свою квартиру в Пимлико85 на всё время войны — тёмную, довольно запущенную квартиру, выходившую в сады на Сент-Джордж сквер и обладавшую тем, что Харди называл «привлекательностью старого бренди». 36  Вместе с тем ему не хотелось, чтобы я был настолько поглощён своими обязанностями. Он одобрял тех, кто не отдавался всецело исполнению функций, связанных с войной. Он никогда не спрашивал меня о работе. Он не хотел разговаривать о войне. Я же со своей стороны не был терпелив и не проявлял достаточно уважения. В конце концов, думалось мне, я занимаюсь всеми этими делами не для развлечения, а поскольку мне приходится заниматься ими, я стараюсь извлекать из них максимум интереса. Но это не могло служить извинением.

В конце войны я не вернулся в Кембридж. Харди мне удалось навестить в 1946 году несколько раз. Его депрессия не развеялась, физическое состояние всё ухудшалось, стоило ему пройти несколько ярдов86, как появлялась одышка. Долгие радостные прогулки по Паркерс Пис после завершения очередного матча навсегда отошли в прошлое: мне приходилось отвозить его в Тринити на такси. Харди был рад, что я снова занялся писательской деятельностью: творческая жизнь была по его мнению единственно достойной жизнью для серьёзного человека. Что же касалось его самого, то он бы хотел жить той творческой жизнью, которую вёл прежде, не лучше. Его собственная жизнь завершилась.

Не привожу точно его слова. Сказанное было настолько непохоже на него, что мне хотелось забыть, и я пытался по иронии как-то загладить его слова. Поэтому я никогда не помнил их чётко. Я пытался дезавуировать их для себя как некий риторический оборот речи.

В начале лета 1947 года я сидел за завтраком, когда зазвонил телефон. Это была сестра Харди: он серьёзно заболел, не могу ли я немедленно приехать в Кембридж и заглянуть прежде всего в Тринити? Смысл второй просьбы не сразу дошёл до меня. Но я повиновался. В Тринити у привратника меня ожидала записка: мне надлежало отправиться в апартаменты Дональда Робертсона, он будет ожидать меня там.

Дональд Робертсон был профессором древнегреческого языка и близким другом Харди; он был ещё одним членом того же высокого, либерального, изящного Кембриджа времён Эдварда VII. Кстати, Робертсон был одним из немногих, называвших Харди по имени. Робертсон тихо приветствовал меня. За окнами его комнаты было спокойное солнечное утро. Робертсон без обиняков произнес: «Вы должны знать, что Харди пытался покончить с собой».

Да, теперь его жизнь вне опасности; у него пока, если можно так выразиться, всё в порядке. Робертсон предпочитал говорить прямо, хотя, возможно, и не столь резко, как Харди. Жаль, заметил он, что 37  попытка самоубийства не удалась. Здоровье Харди в последнее время ухудшилось. Он долго не протянет. Даже переход из апартаментов, где он проживал, в профессорскую столовую стоил ему значительных усилий. Попытку самоубийства Харди предпринял вполне сознательно: влачить такую жизнь он не был намерен, в ней не было ничего привлекательного. Харди накопил достаточно барбитуратов: он основательно «поработал», но принял слишком большую дозу ...

Я с симпатией относился к Дональду Робертсону, но встречал его только на званых обедах за высоким столом в Тринити. Это был первый раз, когда мы говорили с ним с глазу на глаз. С мягкой твёрдостью он рекомендовал мне навещать Харди так часто, как я только смогу: возможно, заметил он, это пожелание трудно выполнить, но сделать это совершенно необходимо. К тому же, Харди долго не протянет. Я попрощался и никогда больше не видел Робертсона.

В частной клинике «Эвелин» Харди лежал в постели. Не обошлось без фарсового штриха: под глазом у него красовался синяк. Оказалось, что во время приступа рвоты от передозировки барбитуратов он ударился головой об унитаз. Харди подтрунивал над собой. Наделал он шума! Случалось ли кому-нибудь наделать больше шума? Мне пришлось вступить в игру и поддержать саркастический тон. Никогда в жизни я не был менее склонен к сарказму, но был вынужден поддержать игру. Я заговорил о других известных случаях провала попыток самоубийства. Взять хотя бы немецких генералов во Второй мировой войне. Бек, Штюльпнагель проявили поразительную некомпетентность в проблеме суицида. Мне было дико слушать собственные разглагольствования об этих вещах. Как ни странно, мои речи его приободрили.

Я стал бывать в Кембридже по крайней мере раз в неделю. Я боялся этих визитов, но Харди всякий раз заранее говорил, что будет ждать меня в следующий раз. Почти всякий раз, когда мы виделись, Харди хотя бы немного говорил о смерти. Он хотел её, не боялся её. Чего бояться, когда вас нет? Его твёрдый интеллектуальный стоицизм полностью вернулся к нему. Больше он не предпринимал попыток покончить с собой. Суицид у него не получился. Он приготовился терпеливо ждать. С непоследовательностью, которая, возможно, была болезненной для него (подобно большинству членов его круга, Харди верил в рациональное до такой степени, которую я считал нерациональной), он обнаружил интенсивное ипохондричное любопытство к своим собственным 38  симптомам. Каждый день он с удивительным постоянством исследовал отечность своих лодыжек: увеличилась она или уменьшилась?

Впрочем, основное время в наших беседах (примерно пятьдесят пять минут из каждого часа, проведённого с Харди) я должен был говорить о крикете. Крикет был для Харди единственным утешением. Мне приходилось изображать такую увлечённость этой игрой, которую я более не испытывал. Сказать по правде, и в тридцатые годы моё отношение к крикету было довольно прохладным, я бывал на крикетной площадке из удовольствия побыть в обществе Харди. Теперь мне приходилось изучать результаты крикетных матчей очень внимательно, Харди не мог читать самостоятельно, но сразу догадывался, стоило мне ошибиться. Иногда к нему на несколько минут возвращалась былая жизнерадостность. Но если я не затрагивал какой-нибудь другой вопрос или не сообщал новость, он потухал и лежал безучастный, в каком-то тёмном одиночестве, которое иногда находит на людей перед смертью.

Раз или два я попытался было поднять его с постели. Не стоит ли нам рискнуть и отправиться вдвоём на крикетный матч? Теперь я не так стеснён в средствах, как прежде, и могу взять для него такси, его излюбленное средство передвижения, до любой крикетной площадки, какую он только назовет. От такого предложения Харди просветлел лицом. Он предупредил меня, что мне придётся возиться с мертвецом. «Ничего, как-нибудь справлюсь», заверил я его. Мне казалось, что он согласится. И он, и я знали, что его кончина — вопрос нескольких месяцев. Мне очень хотелось сделать для него приятное. Но в следующий мой визит Харди печально и гневно покачал головой: нет, он не станет и пытаться, какой смысл тратить силы, если всё равно ничего не получится.

Говорить о крикете мне было довольно трудно. Ещё труднее было его сестре, милой интеллигентной женщине, которая так и не вышла замуж и большую часть своей жизни поводила в заботе о брате. С тонким юмором, напоминавшим юмор самого Харди в былые времена, она собирала мельчайшие крохи крикетных новостей, хотя ровным счётом ничего не знала об игре.

Раз или два прорвалась саркастическая любовь Харди к человеческой комедии. За две или три недели до смерти ему стало известно, что Королевское общество собирается удостоить его своей высшей награды 39  — медали Копли. Харди ухмыльнулся своей мефистофельской улыбкой, и в тот день впервые за все последние месяцы я вновь увидел его во всём блеске. «Теперь мне доподлинно известно, — заметил он, — что мне осталось совсем немного. Когда люди как торопятся воздать тебе почести, из этого можно сделать только один вывод».

Мне кажется, что после этого я навестил его дважды. Последний мой визит был за четыре или пять дней до его смерти. В Австралии тогда играла ещё совсем неопытная команда из Индии, и мы обсуждали это событие.

На той же неделе Харди сказал своей сестре: «Даже если бы я знал, что умру сегодня, мне всё равно хотелось бы узнать последние результаты крикетных матчей».

Нечто подобное он и сделал. В ту неделю каждый вечер, прежде чем уйти, она читала ему главу из истории крикета в Кембриджском университете. Одна из таких глав заканчивалась словами, ставшими последними, которые он слышал: рано утром на следующий день Харди скончался. 40 


АПОЛОГИЯ  МАТЕМАТИКА

 41 
Посвящается Джону Ломасу,
попросившему меня
написать эту книгу
 42 

Предисловие

Я весьма признателен за множество ценных замечаний профессору Ч. Д .Броуду и д-ру Ч. П. Сноу, каждый из которых прочитал мою первоначальную рукопись. Я включил в текст по существу почти все их предложения, что позволило избежать многочисленных неточностей и неясностей.

Однако был случай, когда мне пришлось поступить иначе. В основу §28 положена короткая заметка, помещённая мной в «Эврике» (журнале Кембриджского архимедова общества) в начале года, и я счёл невозможным переделывать то, что было написано мной так недавно и так тщательно. Если бы я попытался удовлетворить всерьёз этим важным критическим замечаниям, то мне пришлось бы расширить §28 настолько, что это нарушило бы баланс всей моей книги. Поэтому я оставил всё без изменения, но добавил в «Примечании» в конце книге краткое изложение сути главных замечаний, сделанных моими критиками.
18 июля 1940 г.Г. Г. Х.
 43 

1

Писать о математике — печальное занятие для профессионального математика. Математик должен делать что-то значимое, доказывать новые теоремы, чтобы увеличивать математические знания, а не рассказывать о том, что сделал он сам или другие математики. Государственные деятели презирают пишущих о политике, художники презирают пишущих об искусстве. Врачи, физики или математики обычно испытывают аналогичные чувства. Нет презрения более глубокого или в целом более обоснованного, чем то, которое люди создающие испытывают по отношению к людям объясняющим. Изложение чужих результатов, критика, оценка — работа для умов второго сорта.

Помню, что как-то раз мне довелось обсуждать эту проблему в одной из нескольких серьёзных бесед с Хусманом. В своей лекции памяти Лесли Стифена «Назначение и природа поэзии» Хусман весьма решительно отрицал свою принадлежность к «критикам», но делал это, как мне показалось, в особенно странной форме: он выразил восхищение литературной критикой, что озадачило и шокировало меня.

Он начал с цитаты из своей инаугурационной лекции, прочитанной двадцатью двумя годами раньше. «Не могу утверждать, является ли талант литературного критика лучшим даром Всевышнего, но он, по-видимому, полагает именно так, ибо талант литературного критика весьма редкий. Ораторы и поэты встречаются редко по сравнению с ягодами чёрной смородины, но чаще, чем возвращения кометы Галлея87. Литературные критики встречаются ещё реже...»

И далее: «За двадцать два года я усовершенствовался в одних отношениях и ухудшился в других, но усовершенствовался не настолько, чтобы стать литературным критиком, равно как не ухудшился настолько, чтобы вообразить, будто я стал таковым».

Мне показалось плачевным, чтобы выдающийся учёный и замечательный поэт так писал, и оказавшись через несколько недель рядом с ним в холле, я собрался с духом и высказал ему своё мнение. Неужели сказанное им должно быть воспринято всерьёз? Неужели жизнь лучшего из критиков действительно кажется ему сравнимой с жизнью 44  учёного или поэта? Мы обсуждали эти вопросы на протяжении всего обеда, и, как мне кажется, он, наконец, согласился со мной. Не следует думать, будто я провозглашаю диалектический триумф над человеком, который более не может возразить мне... Но под конец нашего разговора его ответом на первый вопрос было: «Возможно, не вполне», а отвечая на второй, он заметил: «Вероятно, нет».

Относительно того, какие чувства испытывал Хусман, могут быть какие-то сомнения, и я вовсе не утверждаю, будто он полностью перешёл на мою сторону, но зато нет никаких сомнений относительно того, что думают по этому поводу люди науки, и я полностью разделяю их чувства. Но если я теперь сижу и пишу «о» математике, а не занимаюсь собственно математикой, то это — признание в собственной слабости, за которую молодые и более сильные математики с полным основаниям могут презирать или жалеть меня. Я пишу о математике потому, что подобно любому другому математику после шестидесяти, я не обладаю более свежестью ума, энергией и терпением, чтобы успешно выполнять свою непосредственную работу.

2

Я намереваюсь заняться апологией88 математики. Возможно мне скажут, что в этом нет необходимости, так как ныне существует лишь несколько областей науки, которые по общему признанию (обоснованно или необоснованно) считаются более доходными и почётными. Возможно, это и так. Во всяком случае, вполне вероятно, что со времён сенсационных триумфов Эйнштейна звёздная астрономия и атомная физика — единственные науки, которые оцениваются общественным мнением выше, чем математика. Математику в настоящее время нет необходимости защищать свою профессию. Ему не нужно отвечать на те возражения, которые описаны Брэдли89 в превосходной апологии метафизики, которая служит введением к его книге «Видимость и реальность».

Метафизик, говорит Брэдли, возразит, что «метафизическое знание совершенно невозможно» или что «даже если оно и возможно до какой-то степени, то практически его нельзя называть знанием». «Те же проблемы, придётся услышать метафизику, те же дискуссии, тот же полный провал. Почему бы не оставить всё это? Разве нет ничего 45  другого, более достойного ваших усилий?» Разумеется, не найдётся ни одного глупца, который бы решился говорить в таком тоне о математике. Большая часть математических истин очевидна и впечатляюща. Она впечатляет. Практические приложения математики, мосты, паровые двигатели и динамо-машины производят глубокое впечатление на самое заторможенное воображение. Широкую публику не нужно убеждать в том, что математика имеет какой-то смысл.

Всё это весьма удобно для математиков, но истинный математик вряд ли успокоится на этом. Любой истинный математик должен ощущать, что истинная математика опирается не на указанные выше грубые, осязаемые достижения, и что репутация математики в глазах широкой публики зиждется на незнании и ошибочных представлениях, и что возможна более рациональная защита математики. Как бы то ни было, я намереваюсь предпринять такую попытку. Моя задача представляется мне более простой, чем трудная попытка апологии метафизики, предпринятая Брэдли.

В этой связи я хочу задать вопрос: стоит ли вообще серьёзно изучать математику? Что, собственно, служит оправданием жизни математика? Мои ответы большей частью будут такими, какие следует ожидать от математика: я глубоко убежден, что математикой стоит заниматься, чему существуют многочисленные подтверждения. Но я сразу же должен заявить, что защищая математику, я буду защищать и себя и что моя апология с необходимостью будет в определённой мере эгоистичной. Не думаю, что мне стоит приносить извинения за выбранную мной специальность, даже если я считаю себя неудачником в математике.

Некоторый эгоизм такого рода неизбежен, и я не думаю, что он реально нуждается в оправдании. Хорошая работа делается отнюдь не «скромными» людьми. Одна из важнейших обязанностей профессора, преподающего любой предмет, состоит в том, чтобы немного преувеличить важность своего предмета и своего участия в его развитии. Человек, постоянно задающий вопросы «Стоит ли заниматься тем, что я делаю?» и «Тот ли я человек, который справится с этим делом?» всегда будет неэффективен и к тому же будет расхолаживать других. Он должен слегка прикрыть глаза и думать о своём предмете и самом себе немного лучше, чем они того заслуживают. Сделать это не слишком трудно: труднее не выставить свой предмет и себя на посмешище, зажмурившись слишком плотно. 46 

3

Человеку, решившему оправдать своё существование и свою деятельность, необходимо различать два несхожих по существу вопроса. Первый вопрос состоит в том, стоит ли заниматься тем, чем он занимается; второй — в том, почему он этим занимается (какова бы ни была ценность того, чем он занимается).

Первый вопрос часто оказывается очень трудным, а ответ на него — обескураживающим, но несмотря на это большинство людей находят второй вопрос достаточно лёгким. Их ответы, если они честны, обычно принимают ту или другую из двух форм, причём вторая форма является всего лишь более скромной вариацией первой, которую нам надлежит рассмотреть серьёзно.

(1) «Я занимаюсь тем, чем занимаюсь потому, что это единственное что я умею делать хорошо. Я адвокат, биржевой брокер или профессиональный крикетист потому, что обладаю некоторым талантом, позволяющим мне выполнять именно данную конкретную работу. Я адвокат потому, что у меня хорошо подвешен язык и меня интересуют всякого рода юридические тонкости. Я биржевой брокер потому, что могу быстро и точно оценивать ситуацию на рынке ценных бумаг. Я профессиональный крикетист потому, что могу очень хорошо играть в крикет. Я признаю, что быть поэтом или математиком возможно и лучше, но к сожалению не обладаю талантом для занятий поэзией или математикой».

Я отнюдь не утверждаю, будто большинство людей может выдвигать такие аргументы в своё оправдание, так как большинство людей вообще не умеют ничего делать хорошо. Но подобная апологетика становится несокрушимой, если её можно выдвинуть, не впадая при этом в противоречие, как это умеет делать незначительное меньшинство людей: возможно, пять или даже десять процентов людей могут делать что-то сравнительно неплохо, очень мало людей умеет делать что-то действительно хорошо, а число тех, кто умеет хорошо делать две вещи, пренебрежимо мало. Если человек обладает настоящим талантом, то ему следует без раздумий идти на почти любые жертвы, чтобы развить свой талант полностью.

Подобную точку зрения разделяет д-р Джонсон90.

Когда я сказал ему, что мне приходилось видеть, как [его тезка] Джонсон скакал одновременно на трёх лошадях, он ответил: «Такого 47  человека, сэр, следовало бы поощрять, сэр, ибо то, что он делает, показывает пределы человеческих возможностей».

Ясно, что д-р Джонсон аплодировал бы альпинистам, пловцам, переплывающим Ла-Манш и шахматистам, играющим вслепую. Со своей стороны я полностью одобряю все попытки такого рода, направленные на замечательные достижения. Я с большой симпатией отношусь даже к фокусникам и чревовещателям, и когда Алехин91 и Брэдмен идут на побитие рекорда, я испытываю глубочайшее разочарование, если они терпят неудачу. В этом и д-р Джонсон, и я полностью солидарны с широкой публикой. Как очень точно выразился У. Тёрнер92, только «высоколобые» (в негативном смысле) не восхищаются настоящими «большими людьми».

Разумеется, нельзя не учитывать то, что различные виды деятельности имеют различную ценность. Я предпочёл бы быть романистом или художником, чем государственным деятелем того же ранга; существует немало дорог к известности, которые большинство из нас отвергает как совершенно неприемлемые. Однако при выборе человеком карьеры различия в ценности той или иной профессии редко служат опорной шкалой: выбор рода деятельности почти всегда диктуется ограничениями природных способностей человека. Поэзия обладает более высокой ценностью, чем крикет, но Брэдмен был бы последним дураком, если бы пожертвовал крикетом, чтобы стать автором второсортных и незначительных поэтических произведений (я считаю маловероятным, чтобы в области поэзии он был способен на большее). Если бы Брэдмен играл в крикет не столь блестяще, а его успехи в области поэзии были бы более значительными, то выбор мог бы оказаться более затруднительным. Не знаю, кем бы я хотел стать: Виктором Трампе-ром или Рупертом Бруком. К счастью, такого рода дилеммы возникают очень редко.

Могу добавить, что возникновение таких дилемм перед математиком маловероятно. Различия между мыслительными процессами, протекающими у математиков и других людей, обычно сильно преувеличены, однако нельзя отрицать, что математические способности — талант весьма особого рода и что математики как класс не отличаются ничем особенным от остальных людей ни по части общих способностей, ни быстротой мышления. Если человек в каком-то смысле настоящий математик, то сто шансов против одного, что в математике он достигнет гораздо большего, чем в другой области, и было бы глупо, если 48  бы он поддался любой обманчивой возможности проявить свой талант для того, чтобы сделать что-нибудь невыдающееся в других областях. Такую жертву можно было оправдать разве что экономической необходимостью или возрастом.

4

Мне следует сказать несколько слов по поводу возраста, который особенно важен для математиков. Ни один математик не должен позволять себе забывать о том, что математика в большей степени, чем любой другой вид искусства или любая другая наука, — занятие для молодых. Приведу простой пример на сравнительно скромном уровне: средний возраст избранных в Королевское общество самый низкий у математиков.

Разумеется, мы без труда можем привести намного более поразительные примеры. Мы можем рассмотреть хотя бы карьеру человека, который вне всякого сомнения был одним из трёх величайших математиков мира. Ньютон перестал заниматься математикой в возрасте пятидесяти лет и утратил былой энтузиазм задолго до этого. Он, несомненно, осознал к тому времени, когда ему исполнилось сорок лет, что расцвет его творческой деятельности уже миновал. Его величайшие идеи — флюксии93 и закон всемирного тяготения — пришли ему в голову около 1666 года, когда Ньютону было двадцать четыре года. «В ту пору я был в самом расцвете лет, пригодных для изобретения различных новшеств, и размышлял о математике и философии больше, чем когда-либо впоследствии». Свои большие открытия Ньютон совершил до того, как ему исполнилось сорок лет («эллиптическая орбита» была открыта в тридцать семь лет), а позднее ему мало что удалось сделать, он лишь полировал и совершенствовал то, что было сделано раньше.

Галуа94 умер в двадцать один год, Абель95 — в двадцать семь лет, Рамануджан — в тридцать три года, Риман96 — в сорок. Были люди, которые сделали выдающиеся работы и в более зрелом возрасте. Замечательная работа Гаусса97 по дифференциальной геометрии была опубликована, когда ему было пятьдесят лет (хотя основные идеи были созданы им десятью годами ранее). Я не знаю ни одного случая, когда крупное математическое открытие было бы сделано человеком в возрасте старше пятидесяти. Если человек в преклонном возрасте 49  утрачивает интерес к математике и перестает заниматься ею, то маловероятно, чтобы утрата была весьма серьёзной для математики или для него самого.

С другой стороны, маловероятно, чтобы польза от этого была особенно существенной. Перечень математиков, переставших заниматься математикой в последнее время, не слишком вдохновляет. Ньютон стал весьма компетентным директором монетного двора (когда он ни с кем не ссорился). Пенлеве98 стал не слишком успешным премьер-министром Франции. Политическая карьера Лапласа99 была в высшей степени позорной, но его вряд ли можно считать подходящим примером: Лаплас был скорее бесчестен, чем некомпетентен, но никогда в действительности не «бросал» математику. Насколько мне известно, не существует ни одного примера, когда бы математик самого высокого ранга прекратил заниматься математикой и достиг столь же высоких отличий в любой другой области. Возможно, было несколько молодых людей, которые могли бы стать первоклассными математиками, если бы они занимались математикой, но мне никогда не приходилось слышать ни об одном правдоподобном примере. Кроме того, всё это полностью согласуется с моим собственным весьма ограниченным опытом. Любой молодой математик, обладающий реальным талантом, которого мне приходилось знать, был искренне предан математике, и не из-за отсутствия амбиций, а от избытка их. Все эти молодые люди отчётливо сознавали, что именно в математике они могут добиться признания, если такое вообще возможно.

5

Существует также то, что я бы назвал «более скромной вариацией» стандартной апологии, но от неё можно отделаться буквально в несколько слов.

(2) «Нет ничего, что я мог бы делать особенно хорошо. Я занимаюсь тем, чем занимаюсь потому, что мне пришлось этим заниматься. В действительности мне никогда не представлялась возможность заняться чем-нибудь другим». Эту апологию я также воспринимаю как убедительную. Абсолютная истина состоит в том, что большинство людей ничего не может делать хорошо. Коль скоро это так, то не имеет особого значения, какую карьеру они выбирают, и говорить об этом 50  больше нечего. Это вполне убедительный ответ, но его вряд ли даст человек, обладающий хотя бы в какой-то степени гордостью, и я могу предположить, что ни один из нас не согласился бы с таким ответом.

6

Настало время поразмыслить над первым вопросом, который я поставил в §3, — вопросом, гораздо более трудным, чем второй. Стоит ли заниматься математикой (тем, что я и другие математики подразумеваем под математикой), и если стоит, то почему? Я перечитываю первые страницы своей инаугурационной лекции, с которой выступил в Оксфорде в 1920 году. По существу в ней кратко изложено основное содержание апологии математики. Изложение чрезмерно сжато (оно занимает менее двух страниц) и выдержано в стиле, который мне сейчас не особенно нравится (мне кажется, что это первый опус, написанный, как мне тогда казалось, в «оксфордской манере»). И поныне я склонен думать, что несмотря на дальнейшее развитие, моя инаугурационная лекция всё же содержала основные идеи апологии математики. Напомню, что я тогда сказал в качестве предисловия к более подробному обсуждению.

(1) Я начал с того, что подчеркнул безвредность занятия математикой — изучение математики если и бесполезно, то во всяком случае совершенно безвредно и невинно». Я придерживаюсь этого мнения, хотя оно явно нуждается в более развёрнутом изложении и пояснениях.

Бесполезна ли математика? В определённом смысле, если сказать просто, конечно, небесполезна; например, она доставляет огромное удовольствие весьма большому числу людей. Однако я использовал слово «полезный» в более узком смысле — «полезна» ли математика, приносит ли она прямую пользу, как другие науки, такие, как химия и физиология? Вопрос этот не из лёгких и не бесспорный, и я отвечу на него самым решительным «Нет», хотя некоторые математики (и большинство посторонних), несомненно, ответили бы «Да». «Безвредна» ли математика? И на этот вопрос ответ далеко не очевиден, а сам вопрос принадлежит к числу таких, на которые я предпочёл бы не отвечать, поскольку он вплотную затрагивает проблему влияния науки на эффективность ведения войны. Безвредна ли математика в том смысле, в котором, например, заведомо не безвредна химия? К двум названным выше вопросам я ещё вернусь в дальнейшем. 51 

(2) Далее в своей инаугурационной лекции я сказал: «Масштабы Вселенной грандиозны, и если мы понапрасну тратим время, то напрасно прожитые жизни нескольких университетских донов100 — не такая уж вселенская катастрофа». Дойдя до этого места, я, возможно, принял или попытался изобразить позу преувеличенного смирения, от которого только что отрёкся. Убеждён, что в действительности я имел в виду нечто другое, пытаясь высказать одной фразой то, что гораздо подробнее было изложено в §3. Я имел в виду, что мы, преподаватели, действительно обладаем нашими небольшими талантами, и мы вряд ли заблуждаемся, изо всех сил пытаясь полностью развить их.

(3) Наконец (в выражениях, которые ныне кажутся мне болезненно риторическими), я подчеркнул непреходящий характер математических достижений:

«То, что мы делаем, может быть, мало, но оно, несомненно, обладает непреходящим характером, а создать что-нибудь, представляющее хотя бы в малейшей степени не проходящий интерес, будь то образчик стихов или геометрическая теорема, означает создание чего-то такого, что целиком находится за пределами возможностей подавляющего большинства людей».

И далее:

«В дни конфликта между научными достижениями древности и современности следует сказать кое-что о науке, которая не началась с Пифагора и не закончится на Эйнштейне, а является самой старой и одновременно самой молодой из всех наук».

Всё это — «риторика», но суть сказанного представляется мне и поныне верной, и я могу изложить все затронутые мной идеи подробно, не вдаваясь в предварительное обсуждение любого из других вопросов, которые я оставлю открытыми.

7

Я исхожу из предположения, что пишу для читателей, которые преисполнены или были преисполнены в прошлом надлежащим духом амбиций. Первейшая обязанность человека, во всяком случае, молодого человека, состоит в том, чтобы быть амбициозным. Амбиция — благородная страсть, которая на вполне законном основании может принимать многие формы. Нечто благородное было в амбициях Аттилы101 52  или Наполеона102, но самые благородные амбиции движут теми, кто оставляет после себя нечто, имеющее непреходящую ценность.

«Что здесь, на уровне песка,
Меж сушею и морем,
Воздвигнуть мне иль написать
Пред тем, как ночь наступит?

Поведай мне о рунах, чтоб их я начертал,
Они помогут волн сдержать напор,
Иль о бастионах, чтобы их воздвиг я
На срок подолее того, что мне отпущен».

Амбиции были движущей силой почти всех лучших творений этого мира. В частности, практически все существенные вклады в человеческое счастье были сделаны амбициозными людьми. Приведем два знаменитых примера: разве Листер103 и Пастер104 не были амбициозными людьми? Или, на более скромном уровне, Кинг Жиллетт и Уильям Уиллетт? Кто в последнее время в большей степени способствовал человеческому счастью, чем они?

Особенно хорошие примеры можно почерпнуть из физиологии, просто потому, что она принадлежит к числу заведомо «полезных» наук. Мы должны уберечься от ошибки, обычно совершаемой апологетами науки, — ошибки, которой подвержен, например, профессор А.В.Хилл. Согласно этой ошибке, принято считать, будто те люди, которые в наибольшей степени способствовали процветанию человечества, много думали о своей высокой миссии во время своей работы, короче говоря, будто физиологи обладают особенно возвышенными душами. Физиолог действительно был бы рад вспомнить о том, что его работа облагодетельствует человечество, но мотивы, дающие ему силу и вдохновенье для его свершений, неотличимы от мотивов классического учёного-гуманитария или математика.

Существует множество весьма респектабельных мотивов, которые могут побудить людей проводить исследования, но три мотива гораздо важнее всех остальных. Первый мотив (без которого всё остальное обратилось бы в ничего) — интеллектуальное любопытство, жажда познать истину. Второй мотив — профессиональная гордость, беспокойство, которое можно унять, только свершив задуманное, стыд, охватывающий любого уважающего себя мастера, когда его творение 53  недостойно его таланта. Наконец, третий мотив — амбиция, жажда заслужить репутацию и добиться положения, даже власти или денег, которые приносит с собой положение. Возможно, приятно ощущать, что ты сделал «свою работу», добавил радости или умерил страдание других, но это не является мотивом, побудившим тебя сделать твою работу. Поэтому если математик, химик или даже физиолог скажет мне, что движущей силой в его работе было желание облагодетельствовать человечество, то я не поверю этим словам (равным образом не стану думать о том, кто их произнесет лучше, если даже поверю). В действительности он руководствовался теми мотивами, которые я привёл выше, и в них нет ничего такого, чего следовало бы стыдиться любому достойному человеку.

8

Если интеллектуальное любопытство, профессиональная гордость и амбиция — доминирующие побудительные мотивы исследования, то, несомненно, ни у кого нет лучших шансов удовлетворить им, чем у математика. Предмет его исследований — прелюбопытнейший; нет ни одного другого предмета, в которых истина откалывала бы самые причудливые штуки. Математика обладает разработанным до тончайших деталей увлекательнейшим аппаратом исследований и оставляет беспрецедентный простор для проявления высокого профессионального мастерства. Наконец, как неоднократно доказывает история, математическое достижение, какова бы ни была его внутренняя ценность, обладает наибольшей «долговечностью» по сравнению с достижениями всех других наук.

Мы можем убедиться в этом даже на примере полуисторических цивилизаций. Вавилонская и ассирийская цивилизации пали; Хаммурапи105, Саргон106 и Навуходоносор107 — ныне пустые имена, тем не менее вавилонская математика и поныне представляет интерес, а вавилонская шестидесятеричная система счисления всё ещё применяется в астрономии. Но самым убедительным примером служит, конечно, Древняя Греция.

Древние греки были первыми математиками, чьи результаты актуальны для нас и поныне. Математика Древнего Востока может быть интересна для любознательных, но древнегреческая математика — 54  «вещь» вполне реальная. Древние греки впервые заговорили на языке, который понятен современному математику. Как сказал мне однажды Литлвуд, древние греки — не умные школьники и не «кандидаты на стипендию» за отличные успехи, а «ученые из другого колледжа». Поэтому древнегреческая математика сохранила «непреходящее» значение — более непреходящее, чем даже древнегреческая литература. Архимеда108 будут помнить, даже когда забудут Эсхила109 потому, что языки умирают, тогда как математические идеи бессмертны. Возможно, «бессмертны» — глупое слово, но, вероятно, математик имеет лучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало.

Математику нет необходимости всерьёз опасаться, что будущее будет несправедливо по отношению к нему. Бессмертие часто бывает смешным или жестоким: лишь немногим из нас суждено стать Огом, Ананией или Галилеем110. Даже в математике история иногда выкидывает странные трюки: Ролль111 фигурирует во всех учебниках математического анализа, как если бы он был математиком того же ранга, как и Ньютон; Фарей обрел бессмертие потому, что не понял теорему, которую Харос строго доказал четырнадцатью годами раньше; имена пяти состоятельных норвежцев вошли в биографию Абеля только из-за акта сознательного слабоумия, исполненного с сознанием выполненного долга за счёт их величайшего соотечественника. Но в целом история науки вполне справедлива, и это особенно верно в отношении математики. Ни одна другая наука не обладает столь чёткими или единодушно принятыми стандартами, и люди, о которых хранят память математики, почти всегда заслуживают этого. Математическая слава, если вы сможете получить её, одна из самых прочных и долговечных.

9

Всё это весьма приятно для донов и особенно для профессоров математики. Иногда юристы, политики или бизнесмены высказывают предположение о том, что академическая карьера привлекает главным образом осторожных и неамбициозных людей, более всего заботящихся о собственном комфорте и безопасности. Такое мнение полностью неосновательно. Дон отказывается кое от чего, в частности, от шансов зарабатывать большие суммы денег; например, профессору очень трудно заработать в год 2000 фунтов стерлингов. Прочность 55  положения, естественно, служит одним из соображений, облегчающих отказ от перспективы финансового процветания. Но Хусман отказался бы стать лордом Саймоном112 или лордом Бивербруком113 не по этой причине. Он бы отверг их карьеры из-за своих амбиций: ему бы претила мысль, что через какие-нибудь двадцать лет его забудут.

Но как больно сознавать, что при всех преимуществах академической карьеры вы не застрахованы от неудачи. Помню, как Бертран Рассел рассказывал мне о своём страшном сне. Ему снится, что он находится на верхнем этаже университетской библиотеки в году эдак 2100-м. Помощник библиотекаря обходит книжные полки с огромной корзиной. Он берет с полки одну за другой книги, смотрит их названия и либо ставит обратно на полку, либо швыряет в корзину. Наконец, очередь доходит до трёхтомного издания, в котором Рассел узнает последний сохранившийся экземпляр «Principia Mathematica»114. Он снимает с полки один из томов, перелистывает несколько страниц, явно озадаченный странными символами, захлопывает том, прикидывает его на руке и останавливается в нерешительности...

10

Математик, подобно художнику или поэту, создаёт образы. Если его «образы» долговечнее их образов, то потому, что они состоят из идей. Художник создаёт свои образы из форм и цветов, поэт — из слов. Изображение может воплощать «идею», но эта идея находится на уровне обычного здравого смысла и малосущественна. В поэзии идеи значат гораздо больше, но, как настаивает Хусман, важность идей в поэзии обычно преувеличивают: «Я не могу согласиться с тем, что существует нечто, именуемое поэтическими идеями ... Поэзия — это не то, что сказано, а то, как сказано».

«Бушующего моря вод не хватит, чтоб смыть помазанье с чела владыки-короля».

Какие строки! Но могут ли выраженные в них идеи быть более банальными и более фальшивыми? Мы видим, что скудность идей вряд ли влияет на красоту словесного узора. С другой стороны, у математика нет другого материала для работы, кроме идей, из-за чего создаваемые им образы с большей вероятностью будут существовать, так как идеи изнашиваются со временем меньше, чем слова. 56 

Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике. В этой связи я не могу не упомянуть одно всё ещё широко распространенное заблуждение (хотя, возможно, что ныне оно распространено далеко не так широко, как двадцать лет назад). Я имею в виду то, что Уайтхед назвал «литературным предрассудком»: любовь к математике и эстетическая оценка её есть «мономания, охватывающая в каждом поколении лишь несколько эксцентриков».

Трудно было бы в наше время найти образованного человека, совершенно нечувствительного к эстетической привлекательности математики. Возможно, определить математическую красоту очень трудно, но то же самое можно сказать и о красоте любого рода: мы не знаем с абсолютной точностью, что подразумеваем под красивой поэмой, но это не мешает нам распознать её при чтении. Даже профессор Хогбен, который любой ценой стремится минимизировать значимость эстетического элемента в математике, не отваживается отрицать его реальность. «Разумеется, найдутся индивиды, для которых математика обладает холодной отстраненной привлекательностью... Эстетическая привлекательность математики для немногих избранных может быть вполне реальной». Но он предполагает, что их «немного» и их чувства холодны (это действительно очень смешные люди, которые живут в дурацких маленьких университетских городках, за стенами которых они укрываются от свежих ветров, дующих на широких открытых пространствах). В этом профессор Хогбен лишь вторит «литературному предрассудку» Уайтхеда.

А факт состоит в том, что существует мало предметов, более «популярных», чем математика. Большинство людей способны получать удовольствие от математики так же, как большинство людей обладают способностью наслаждаться приятной мелодией. И наверно, большинство людей в действительности больше интересуются математикой, чем музыкой. На первый взгляд картина может показаться иной, но этому легко найти объяснения. Музыку можно использовать для того, чтобы стимулировать массовые эмоции, — математика для этого не подходит; отсутствие музыкальных способностей воспринимается (вне всякого сомнения правильно) как нечто умеренно порочащее данное лицо, в то время как большинство людей настолько боятся самого названия математики, 57  что они готовы совершенно искренне преувеличивать свою неспособность к математике.

Не требуется глубоких размышлений, чтобы понять абсурдность «литературного предрассудка». В любой цивилизованной стране имеется огромная масса любителей шахмат — в России в шахматы играет почти всё образованное население; и почти каждый любитель шахмат может распознать и оценить «красивую» шахматную партию или задачу. Однако шахматная задача — это просто упражнение по чистой математике (шахматная партия — не вполне, так как психология также играет роль), и каждый, кто называет шахматную задачу «красивой», аплодирует математической красоте, даже если речь идёт о красоте сравнительно низкого рода. Шахматные задачи — это хвалебные песнопения в честь математики.

Тот же урок на более низком уровне, но для более широкой публики мы можем извлечь из игры в бридж или, если спуститься ещё ниже, из тех колонок массовых газет, в которых публикуются головоломки. Почти вся необычная популярность этих игр и развлечений — дань притягательной силе рудиментарной математики, и лучшие составители головоломок, такие, как Дьюдени или «Калибан», практически не используют ничего, кроме самой элементарной математики. Они знают своё дело: всё, что нужно широкой публике, это небольшая интеллектуальная «встряска», а ничто не может сравниться с той встряской, которую даёт интеллекту математика.

Я мог бы добавить, что ничто в мире не доставляет большего удовольствия даже весьма известным людям (в том числе и тем из них, кто позволял себе пренебрежительные высказывания о математике), чем открытие или переоткрытие настоящей математической теоремы. Герберт Спенсер115 опубликовал в своей автобиографии переоткрытую им теорему об окружностях, которую он доказал, когда ему было двадцать лет (не зная, что она была доказана Платоном более чем двумя тысячами лет раньше). Более свежий и более поразительный пример — профессор Содди (но его теорема действительно принадлежит ему)1).

11

Шахматная задача — настоящая математика, но в каком-то смысле это «тривиальная» математика. Сколь бы изысканными и тонкими, 58  оригинальными и удивительными ни были ходы, нечто существенное всё же отсутствует. Шахматные задачи неважные. Лучшая математика серьёзна и красива — если угодно, «важна», но это слово многозначно, и слово «серьёзна» лучше выражает то, что я хочу сказать.

Я не имею в виду «практические» следствия математики. К этому вопросу мне ещё придётся вернуться в дальнейшем, а пока скажу лишь, что если шахматная задача, грубо говоря, «бесполезна», то о лучшей математике большей частью можно сказать то же самое, и лишь очень малая толика математики практически полезна, и что эта малая часть математики сравнительно неинтересна. «Серьёзность» математической теоремы кроется не в практических следствиях из неё, (обычно они ничтожны), а в значимости математических идей, между которыми теорема устанавливает взаимосвязь. Не вдаваясь в детали, можно сказать, что математическая идея «значительна», если её можно естественно и просто связать с широким комплексом других математических идей. Таким образом, серьёзная математическая теорема, теорема, которая связывает значительные идеи, весьма вероятно приводит к существенным продвижениям в самой математике и даже в других науках. Ни одна шахматная задача не оказала влияния на общее развитие научной мысли; Пифагор116, Ньютон, Эйнштейн, каждый в своё время, изменили направление научной мысли.

Разумеется, серьёзность теоремы не в её следствиях; следствия лишь свидетельствуют о её серьёзности. Шекспир оказал огромное влияние на развитие английского языка, Отуэй не оказал почти никакого влияния, но Шекспир был лучшим поэтом по иной причине. Он был лучшим поэтом потому, что его поэзия была намного лучше. Незначительность шахматной задачи, подобно поэзии Отуэя, не в её последствиях, а в её содержании.

Существует ещё один вопрос, на котором я остановлюсь очень кратко, не потому, что он не интересен, а потому, что он сложен и я не обладаю должной квалификацией для того, чтобы вести сколько-нибудь серьёзную дискуссию по эстетике. Красота математической теоремы во многом зависит от её серьёзности: даже в поэзии красота строки может в какой-то мере зависеть от значимости заложенных в ней идей. Выше я привёл две шекспировские строки как пример подлинной красоты словесного рисунка, но строка

«Но лихорадка жизни отступила, и крепко спит он.» 59 

кажется мне ещё прекрасней. Образ столь же прекрасен, но в этом случае идеи исполнены смысла, тезис здрав, и поэтому строка глубже затрагивает наши чувства. Идеи оказывают существенное влияние на образ даже в поэзии и, естественно, в гораздо большей степени в математике, но я даже не пытаюсь обсуждать этот вопрос сколько-нибудь серьёзно.

12

Становится ясно, что для дальнейшего продвижения мне необходимо привести несколько примеров «настоящих» математических теорем — теорем, которые любой математик сочтет первоклассными. И здесь я оказываюсь в сильном затруднении из-за ограничений, при которых пишу. С одной стороны, мои примеры должны быть очень простыми и понятными читателю, не обладающему специальными познаниями в математике; не должно быть сложных предварительных объяснений, и читатель должен быть в силах проследить как за доказательствами, так и за формулировками теорем. Эти условия исключают, например, многие из красивейших теорем теории чисел, такие, как теорема Ферма о двух квадратах или закон квадратичной взаимности. С другой стороны, мои примеры должны быть заимствованы из «первоклассной» математики, математики активно работающего профессионального математика, и это условие исключает многое из того, что было бы легко сделать доступным для понимания широкого читателя, но что в то же время выходит за рамки логики и математической философии.

Вряд ли можно предложить лучший выход из положения, чем обращение к математике древних греков. Я сформулирую и докажу две из знаменитых теорем древнегреческой математики. Обе эти теоремы принадлежат к числу «простых» — как по идее, так и по исполнению, но несомненно, при всём этом обе — теоремы высочайшего класса. Каждая из этих теорем так же свежа и значима, как в пору своего открытия. Два прошедших с тех пор тысячелетия не оставили и морщинки на их лике. Наконец, интеллигентный читатель, сколь бы скудным ни был его математический багаж, может за какой-нибудь час одолеть и формулировки, и доказательства этих теорем. 60 

1. Первый пример — предложенное Евклидом доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел2).

Простыми называются числа

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, ..., (1)

которые не могут быть разложены на меньшие множители3). Например, 37 и 317 — простые числа. Именно простые числа служат тем материалом, из которого с помощью умножения образуются все числа: например, 666 = 2·3·3·37. Каждое число, которое не является простым, делится по крайней мере на одно простое число (разумеется, обычно оно делится на несколько простых чисел). Требуется доказать, что существует бесконечно много простых чисел, т.е. последовательность (1) никогда не кончается.

Предположим, что последовательность (1) кончается, т.е. что 2, 3, 5, ..., P — все входящие в неё числа (таким образом, P — наибольшее простое число). Следуя этой гипотезе, рассмотрим число

Q = (2 · 3 · 5 · ... · P) + 1.

Ясно, что Q не делится ни на одно число 2, 3, 5, ..., P, так как при делении на любое из этих чисел даёт остаток 1. Но если число Q не простое, то оно должно делиться на какое-то простое число. Следовательно, существует какое-то простое число (может быть, само число Q), больше, чем любое из чисел 2, 3, 5, ..., P. Это противоречит сделанному нами предположению о том, что не существует простого числа, которое бы превосходило число P, и, следовательно, это предположение неверно.

Метод доказательства reductio ad absurdum (доказательство от противного), столь любимый Евклидом, — один из самых лучших инструментов математика4). Это гораздо более «хитроумный» гамбит, чем любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешку или даже фигуру, но математик жертвует партию. 61 

13

2. Мой второй пример — предложенное Пифагором5) доказательство «иррацио­нальности» числа √2.

Рациональные числа представляются в виде дроби a/b, где a и b — целые числа. Можно предположить, что a и b не имеют общих множителей, так как если бы они их имели, то на общий множитель можно было бы сократить. Утверждение «число √2 иррационально» равносильно утверждению «число 2 не представимо в виде (a/b)2», а оно в свою очередь равносильно утверждению о том, что соотношению

a2 = 2b2 (2)

не могут удовлетворять целые значения a и b, не имеющие общего множителя. Это — теорема чистой арифметики, не требующая знания «иррациональных чисел» и не зависящая ни от какой теории иррациональных чисел.

Снова воспользуемся доказательством от противного. Предположим, что соотношение (2) выполняется и что a и b целые числа, не имеющие общего множителя. Из соотношения (2) следует, что число a2 чётно (так как 2b2 делится на 2), и, следовательно, число a чётно (так как квадрат нечётного числа нечётен). Если a чётно, то

a = 2c, (3)

где c — некоторое целое число, и, следовательно,

2b2 = a2 = (2c)2 = 4c2

или

b2 = 2c2. (4)

Следовательно, число b2 чётно, а это значит (по той же причине, что и прежде), что число b чётно. Таким образом, оба числа a и b чётны 62  и поэтому имеют общий множитель 2, что противоречит нашему исходному предположению. Следовательно, наше исходное предположение ложно.

Из теоремы Пифагора следует, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной (что их отношение — не рациональное число, что не существует такой единицы длины, целыми кратными которой были бы диагональ и сторона квадрата). Действительно, если мы примем сторону за единицу длины и d — длина диагонали, то по другой хорошо известной теореме, также приписываемой Пифагору6),

d2 = 12 + 12 = 2,

поэтому d не может быть рациональным числом.

Я могу привести сколько угодно красивых теорем из теории чисел, смысл которых может быть понят любым человеком. Например, утверждение, известное под названием «основной теоремы арифметики», гласит: любое целое число разложимо в произведение простых чисел, причём только одним (с точностью до порядка сомножителей) способом. Например, 666 = 2·3·3·37, и других разложений не существует; разложения 666 = 2·11·29 или 13·89 = 17·73 невозможны (в этом мы можем убедиться, не вычисляя произведения). Эта теорема, о чём свидетельствует её название, служит основой высшей арифметики, но её доказательство, хотя и не является «трудным», требует некоторых предварительных пояснений и для читателя-нематематика может показаться скучным.

Ещё одним примером знаменитой и красивой теоремы может служить теорема Ферма о двух квадратах. Простые числа (если исключить особое простое число 2) можно разбить на два класса — на простые числа

5, 13, 17, 29, 37, 41, ...,

дающие при делении на 4 остаток 1 и простые числа

3, 7, 11, 19, 23, 31, ...,

дающие при делении на 4 остаток 3. Все простые числа из первого класса можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел:

 5 = 12 + 22,        13 = 22 + 32,
 17 = 12 + 42,    29 = 22 + 52.

Ни одно простое число из второго класса, например, 3, 7, 11, 19, в виде суммы квадратов двух целых чисел не представимо. (В этом читатель может легко убедиться с помощью проверки). Это утверждение является теоремой Ферма, которую с полным основанием принято считать одной из красивейших в теории чисел. К сожалению, не существует её доказательства, доступного пониманию кого-нибудь, кроме специалистов-математиков.

Красивые теоремы есть и в теории множеств, например, теорема Кантора117 о несчётности континуума. Здесь трудность прямо противоположная. Доказательство теоремы достаточно просто, если овладеть терминологией теории множеств, но прежде чем смысл теоремы станет ясен, необходимы обширные пояснения. Поэтому я не стану приводить новые примеры. Те же примеры, которые я привёл выше, служат своего рода тестами, и читатель, не способный оценить их по достоинству, вряд ли способен оценить что-нибудь в математике вообще.

Как уже было сказано, математик творит образы из идей, а красота и серьёзность — те критерии, по которым можно судить о создаваемых им образах. Я с трудом поверю, что тот, кто понял две приведённые мной теоремы, станет спорить по поводу того, что они удовлетворяют критериям красоты и серьёзности. Если сравнить их с самыми остроумными головоломками Дьюдени или с лучшими шахматными задачами, составленными мастером этого жанра, то превосходство теорем и в красоте, и в серьёзности станет явным: сказывается безошибочное различие в классе. Теоремы гораздо более серьёзны, а также гораздо более красивы. Можно ли определить, в чём заключается превосходство теорем чуть более подробно?

14

Прежде всего математические теоремы имеют явное и подавляющее превосходство в серьёзности. Шахматная задача — продукт очень ограниченного комплекса остроумных идей, которые отличаются одна от другой не слишком фундаментально и не имеют внешних последствий. Мы мыслили бы так же, даже если бы шахматы никогда не были изобретены, в то время как теоремы Евклида и Пифагора оказали глубокое влияние на человеческую мысль даже за пределами математики.

Таким образом, теорема Евклида имеет жизненно важное значение для всей структуры арифметики. Прямые числа — тот сырой материал, 64  из которого мы должны строить арифметику, и теорема Евклида убеждает нас в том, что для выполнения этой задачи мы располагаем достаточным количеством сырья. Но теорема Пифагора имеет более широкий круг приложений и более приятную формулировку.

Следует заметить, что предложенное Пифагором доказательство допускает далеко идущее обобщение и после небольшого изменения основного принципа может быть применено к весьма широкому классу «иррациональных чисел». По аналогии с доказательством Пифагора, мы можем доказать (как это, по-видимому, сделал Теэтет118), что числа

3,  √5,  √7,  √11,  √13,  √17

иррациональны или (выходя за рамки доказанного Теэтета), что числа 32 и 317 иррациональны7).

Теорема Евклида говорит нам о том, что в нашем распоряжении имеется достаточный запас материала для построения непротиворечивой арифметики целых чисел. Теорема Пифагора и её обобщения говорят нам о том, что, когда мы построим арифметику целых чисел, она окажется недостаточной для наших целей, так как существует множество величин, привлекших наше внимание, которые мы не сможем измерить в целых числах. Диагональ квадрата — лишь самый очевидный пример. Глубокое значение этого открытия было сразу осознано древнегреческими математиками. Сначала они предполагали (в соответствии, как я предполагаю, с «естественными» требованиями «здравого смысла»), что все величины одного и того же рода соизмеримы, например, что любые две величины длины кратны одной и той же общей единице длины, и, исходя из этого допущения, построили теорию пропорций. Открытие Пифагора показало, что это допущение не верно, и привело к построению гораздо более глубокой теории Евдокса119, изложенной в кн. V «Начал» Евклида. В наше время многие математики считают теорию Евдокса прекраснейшим достижением древнегреческой математики. Эта теория поразительно современна по духу и может рассматриваться как предтеча современной теории иррациональных чисел, совершившей переворот в математическом анализе и оказавшей сильное влияние на философию новейшего времени.

Впрочем, в «серьёзности» любой из теорем нет никаких сомнений, и поэтому мы лучше заметим, что ни одна из теорем не имеет ни малейшего «практического» значения. В практических приложениях 65  нас интересуют лишь сравнительно небольшие числа. Только звёздная астрономия и атомная физика оперируют с «большими» числами, но и эти науки, по крайней мере ныне, едва ли имеют большее практическое значение, чем самая абстрактная чистая математика. Я не знаю, какая высшая точность полезна для инженера. Будем щедрыми и предположим, что речь идёт о десяти знаках после запятой. Тогда число 3,14159265 (значение числа π с точностью восемь знаков после запятой) представимо в виде отношения

314 159 265

1 000 000 000


двух чисел, соответственно, девяти- и десятизначных. Количество простых чисел, не превышающих 1 000 000 000, составляет 50 847 478. Этого достаточно для инженера, и он может чувствовать себя вполне счастливым без всего остального. О теореме Евклида сказано достаточно. Что же касается теоремы Пифагора, то ясно, что для инженера иррациональные числа не представляют интереса, так как он имеет дело только с приближёнными значениями различных величин, а все приближённые значения рациональны.

15

Под «серьёзной» принято понимать теорему, содержащую «значительные» идеи. Мне кажется, что нужно попытаться провести более подробный анализ тех качеств, которые делают математическую идею значительной. Сделать это очень трудно, и маловероятно, что проводимый мной анализ окажется очень ценным. Мы узнаем «значительную» идею, когда нам случается её видеть, как мы узнали значительные идеи в приведённых выше теоремах Евклида и Пифагора, но способность распознать важное требует весьма высокой степени математической мудрости и знания математических идей, которое берётся только от многолетнего пребывания в их компании. Поэтому я всё же попытаюсь проанализировать в какой-то мере «серьёзности» математической идеи и сделать анализ при всей его неадекватности разумным и понятным насколько это возможно. Два качества играют существенную роль: общность и глубина идеи, но ни одно из них не поддаётся определению легко и просто.

Значительная математическая идея, серьёзная математическая теорема должна обладать «общностью» в каком-то следующем смысле. 66  Идея должна быть составляющей частью многих математических конструкций, используемых в доказательствах многих теорем различного рода. Теорема должна быть такой, что даже если первоначально она сформулирована в весьма частном виде (как теорема Пифагора), она должна допускать существенное обобщение и быть типичной для целого класса теорем аналогичного рода. Отношения, выявляемые в ходе её доказательства, должны связывать многие различные математические идеи. Всё это очень смутно и требует многочисленных уточнений. Но, как нетрудно видеть, теорема вряд ли может претендовать на роль серьёзной теоремы, если в ней явно недостаточно этих свойств. Нам остаётся только привести примеры отдельных курьезов, которые во множестве встречаются в арифметике. Приведу, два примера, заимствованных мной почти наугад из книги «Математические эссе и развлечения» Роуза Болла и Коксетера. (Русский перевод: Болл Р., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Прим. перев.)

(а) 8712 и 9801 единственные четырёхзначные числа, равные целым кратным числам, полученным при записи в обратном порядке:

8712 = 42 · 178,     9801 = 9 · 1089.

Других чисел, не превосходящих 10000, которые бы обладали этим свойством, не существует.

(б) Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр, например,

 153 = 13 + 53 + 33,        370 = 33 + 73 + 03,
 371 = 33 + 73 + 13,    407 = 43 + 03 + 73.

Все это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика. Их доказательства не трудны и не интересны, а всего лишь немного утомительны. Соответствующие утверждения, как теоремы, не серьёзны. Ясно, что одна из причин этого (хотя, вероятно, не самая важная) — чрезмерная конкретность как формулировок, так и доказательств, не допускающих никаких обобщений.

16

«Общность» — многозначное и весьма опасное слово, и мы должны тщательно следить за тем, чтобы оно не слишком доминировало в наших 67  обсуждениях. Оно используется в различных смыслах и в математике и в литературе о математике, и на общности, понимаемой в одном из смыслов, логики делают особый акцент, хотя для нас такое понимание логиков здесь полностью неуместно. В этом смысле, как нетрудно доказать, все математические теоремы обладают одинаковой и полной «общностью».

«Определённость математики, — говорит Уайтхед8), — зависит от её совершенно абстрактной общности». Когда мы утверждаем, что 2+3=5, мы говорим об отношении между тремя группами «вещей», и эти «вещи» — не яблоки, монеты или вещи того или иного вполне определённого рода, а просто «вещи», «любые виды вещей». Смысл утверждения совершенно не зависит от индивидуальностей членов групп. Все математические «объекты», «сущности» или «отношения», такие, как «2», «3», «5», «+» или «=», и все математические предложения, в которые они входят, носят совершенно общий характер в том смысле, что они совершенно абстрактны. Одно из слов в утверждении Уайтхеда излишне, так как общность в этом смысле есть абстрактность.

Этот смысл слова «общность» важен, и логики поступают вполне справедливо, подчёркивая его, так как он воплощает в себя трюизм, о котором весьма многие из тех, кто должен был бы разбираться в этом лучше, склонны забывать. Например, нередко приходится слышать, как какой-нибудь астроном или физик заявляет, будто ему удалось найти «математическое доказательство» того, что физическая Вселенная должна вести себя так, а не иначе. Все такие заявления, если интерпретировать их буквально, представляют собой абсолютный нонсенс. Невозможно доказать математически, что завтра произойдёт солнечное или лунное затмение потому, что затмения и другие физические явления не входят в качестве составных частей в абстрактный мир математики. Я убеждён, что все астрономы были бы вынуждены признать правильность этого утверждения, сколько бы затмений они ни предсказали до этого.

Ясно, что сейчас нас интересует «общность» иного рода. Мы ищем различия в общности математических теорем, которые в смысле Уайтхеда все обладают одинаковой общностью. Таким образом, «тривиальные» теоремы (а) и (в) из §15 столь же «абстрактны» или «общи», как теоремы Евклида и Пифагора и как любая шахматная задача. Для шахматной проблемы безразлично, какого цвета фигуры — белые и чёрные 68  или красные и зелёные и, вообще, существуют ли физические «фигуры». Во всех этих случаях мы имеем дело с одой и той же задачей, которую знаток легко держит в голове, а нам приходится трудолюбиво воспроизводить на шахматной доске. Нужно сказать, что шахматная доска и фигуры — всего лишь устройства, стимулирующие наше вялое воображение и имеющие к сути проблемы ничуть не больше отношения, чем доска и мел — к теоремам, доказываемым на лекции по математике.

Речь идёт не о той общности, которая присуща всем математическим теоремам, поиском которой мы занимались до сих пор. Сейчас нас интересует та, более тонкая и неуловимая, общность, которую я попытался в общих чертах описать в §15. И нам следует тщательно следить за тем, чтобы не делать чрезмерный акцент даже на такой общности (как это имеют обыкновение делать логики, например, Уайтхед). Это не просто «нагромождение тонкостей обобщения на тонкости обобщения»9), принадлежащее к числу выдающихся достижений современной математики. Некоторая мера общности должна присутствовать в любой теореме высокого класса, но чрезмерная дозировка общности неизбежно приводит к «бесцветности» теоремы. «Всё есть то, что оно есть, а не другое», и различия между вещами не менее интересны, чем сходство между ними. Мы выбираем своих друзей не потому, что они воплощают в себя все приятные качества, какие только могут быть присущи людям, а потому, что они являются теми, кто они есть. Так происходит и в математике; свойство, общее для слишком многих объектов, вряд ли может быть очень интересным, и математические идеи также становятся скучными, если не обладают индивидуальностью в достаточной мере. Здесь я по крайней мере могу процитировать Уайтхеда, выступающего в данном случае на моей стороне: «Плодотворная концепция заключается в широком обобщении, ограниченном удачной конкретизацией»10).

17

Второе свойство, которое я потребовал от значительной идеи, — её глубина. Определить его ещё труднее. Оно каким-то образом связано с трудностью; «более глубокие» идеи обычно труднее постичь, но 69  вместе с тем это не одно и то же. Идеи, лежащие в основании теоремы Пифагора и её обобщений весьма глубоки, но современный математик не счёл бы их трудными. С другой стороны, теорема может быть в сущности поверхностна, но очень трудна для доказательства (таковы, например, очень многие «диофантовы»120 теоремы, т.е. теоремы о решении уравнений в целых числах).

Создаётся впечатление, что математические идеи «стратифицированы», т.е. расположены как бы слоями, идеи в каждом слое связаны целым комплексом отношений между собой и с идеями, лежащими в верхних и нижних слоях. Чем ниже слой, тем глубже (и, как правило, труднее) идея. Так, идея «иррационального числа» глубже идеи целого числа, и по этой причине теорема Пифагора глубже теоремы Евклида.

Сосредоточим внимание на отношениях между целыми числами или в какой-нибудь другой группе объектов, лежащих в каком-нибудь конкретном слое. Может случиться так, что одно из этих отношений окажется полностью понятным, что мы сможем распознать и доказать, например, какое-нибудь свойство целых чисел, не зная о содержании слоев, расположенных ниже. Так, теорему Евклида мы доказали, рассматривая только свойства целых чисел. Но существует также немало теорем о целых числах, которые мы не можем должным образом оценить и ещё в меньшей степени доказать, не «копая» глубже и не выясняя того, что происходит в лежащих ниже слоях.

Нетрудно привести соответствующие примеры из теории простых чисел. Теорема Евклида очень важна, но не отличается особой глубиной: мы можем доказать, что существует бесконечно много простых чисел, не пользуясь ничем глубже понятия «делимости». Но как только мы узнаем, что простых чисел бесконечно много, сразу же возникают новые вопросы. Да, простых чисел бесконечно много, но как они распределены? Пусть N — некоторое большое число, например, 1080 или 1010¹º.11) Сколько существует простых чисел, не превосходящих числа N?12) Стоит нам задать эти вопросы, как мы оказываемся в совершенно ином положении. Мы в состоянии ответить на них с поразительной 70  точностью, но только если копнем глубже, оставив на время в стороне целые числа, и воспользуемся самым мощным оружием современной теории функций. Таким образом, теорема, дающая ответ на наши вопросы (так называемая «теорема о распределении простых чисел»), гораздо глубже теоремы Евклида или даже теоремы Пифагора.

Я мог бы легко увеличить число примеров, но понятие «глубины» неуловимо даже для математика, способного его распознать, и вряд ли я могу сказать ещё что-нибудь об этом понятии, что будет особенно полезным читателям-неспециалистам.

18

Есть ещё один вопрос, оставшийся после §11, где я позволил себе сравнить «настоящую» математику и шахматы. Мы можем считать теперь не подлежащим сомнению, что по самой своей сути, серьёзности и значимости настоящая математическая теорема имеет подавляющее преимущество перед шахматами. Для тренированного интеллекта почти столь же очевидно, что настоящая математика обладает большим преимуществом и в красоте, но это преимущество гораздо труднее определить или указать его местоположение, так как основной дефект шахматной задачи заключается просто в её «тривиальности», и контраст в этом отношении смешивается с любым чисто эстетическим соображением и возмущает последнее. Какие «чисто эстетические» свойства мы можем обнаружить в таких теоремах, как теорема Евклида и теорема Пифагора? Я рискну сделать лишь несколько разрозненных замечаний.

И та и другая теорема (разумеется, в теоремы я включаю не только формулировки, но и доказательства) отличаются весьма высокой степенью неожиданности в сочетании с непреложностью и экономичностью. Доказательства необычны и удивительны по форме; используемые инструменты кажутся по-детски простыми по сравнению с далеко идущими результатами, но все заключения с необходимостью вытекают из теоремы. Детали не загромождают основную линию доказательства — в каждом случае достаточно атаковать только в одном направлении. То же самое относится и к доказательству многих гораздо более трудных теорем. Чтобы оценить их по достоинству, требуются весьма основательные 71  познания в математике. «Многовариантность» доказательства математической теоремы отнюдь не требуется: перечисление всех случаев — одна из наиболее скучных форм математического доказательства. Математическое доказательство должно напоминать созвездие с ясными и чёткими очертаниями, а не скопление звёзд с размытыми границами в Млечном Пути.

Шахматная задача также обладает неожиданностью и определённой экономичностью. Существенно, чтобы ход был неожиданным и чтобы каждая фигура на шахматной доске играла свою роль. Но эстетический эффект обладает кумулятивным действием. Существенно также (если только шахматная задача не слишком проста для того, чтобы быть по-настоящему занимательной), чтобы ходы, следующие за ключевым ходом, допускали много вариаций, каждая из которых требовала бы своего индивидуального ответа. «Если белые делают ход пешкой на b5, то чёрные отвечают ходом коня на e6, если ..., то ..., если ..., то...». Эффект был бы испорчен, не будь у игроков на каждый ход противника так много различных вариантов ответных ходов. Всё это самая настоящая математика и имеет она свои достоинства, но шахматные доказательства принадлежат к числу тех самых доказательств путём перечисления всех мыслимых случаев, которые по существу отличаются друг от друга не так уж сильно13), к которым в настоящей математике принято относиться с презрением.

Я склонен думать, что мог бы усилить свою аргументацию, апеллируя к чувствам самих шахматистов. Не подлежит сомнению, что шахматный мастер, участник выдающихся партий и матчей, в глубине души с презрением относится к чисто математическому искусству шахматного задачерешателя. У настоящего шахматного мастера всегда есть немало в резерве, из которого он может почерпнуть нужный ход в случае необходимости: «если мой оппонент сделает такой-то ход, то я смогу парировать его такой-то выигрышной комбинацией». Но выдающаяся шахматная партия представляет собой главным образом психологический поединок, конфликт между одним тренированным интеллектом и другим, а не только коллекцию небольших математических теорем. 72 

19

Мне необходимо вернуться к моей оксфордской апологии и рассмотреть немного более внимательно некоторые из пунктов, которые я отложил в §6. Теперь уже очевидно, что математика интересует меня только как искусство, как вид творческой деятельности. Но следует рассмотреть и другие вопросы, в частности, вопрос о «полезности» (или бесполезности) математики, по поводу которого существует много неясности. Нам необходимо также обсудить, так ли «безвредна» математика в действительности, как я утверждал в своей оксфордской лекции.

Науку или искусство принято считать «полезными», если они, хотя бы косвенно, увеличивают материальное благосостояние и комфорт людей, или способствуют их счастью, если воспользоваться этим словом в его примитивном обыденном смысле. Например, медицина и физиология полезны, так как они исцеляют страдания, инженерное дело полезно, так как оно помогает нам возводить дома и мосты и тем самым способствует повышению уровня жизни (разумеется, инженерное дело также причиняет и вред, но сейчас речь идёт не об этом). В этом смысле какая-то часть математики несомненно полезна. Инженеры не могли бы справляться со своей работой без хорошего «работающего» знания математики, и математика начинает находить приложение даже в физиологии. Таким образом, здесь мы находим почву для защиты математики. Возможно, это не лучшая и даже не особенно сильная защита, но нам необходимо её изучить. Более «благородные» приложения математики, если таковые существуют, приложения, разделяемые математикой со всеми видами творческой деятельности, для нашего анализа несущественны. Подобно поэзии или музыке, математика может способствовать «развитию и поддержанию возможной привычки ума» и тем самым увеличивать счастье математиков и даже нематематиков, но защита математики на этом основании означала бы повторение того, что я уже сказал. То, что нам необходимо проанализировать сейчас, — «грубая» польза от математики.

20

Всё это может показаться вполне очевидным, но даже здесь нередко бывает много путаницы, так как самыми «полезными» предметами 73  обычно бывают те, изучать которые для большинства из нас особенно бесполезно. Полезно иметь в обществе адекватное количество физиологов и инженеров, но для обычных людей изучение физиологии или инженерного дела — не самые полезные занятия (хотя изучение этих предметов можно отстаивать, исходя из других оснований). Со своей стороны должен заметить, что никогда не оказывался в положении, когда бы научные знания, которыми я обладаю помимо чистой математики, давали бы мне малейшее преимущество.

Действительно, просто поразительно, какую малую практическую ценность имеет научное знание для обычных людей, как скучны и обыденны те фрагменты научного знания, которые имеют практическую ценность, и как практическая ценность научного знания почти обратна его предполагаемой полезности. Полезно уметь терпимо быстро производить арифметические вычисления (арифметика, несомненно, принадлежит к чистой математике). Полезно немного знать французский или немецкий язык, немного разбираться в истории и географии, возможно, даже в экономике. Что же касается химии, физики или физиологии, то скромные познания в этих науках не имеют вообще никакой ценности в обыденной жизни. Мы знаем, что газ горит, хотя его состав нам не известен; если ломается наша автомашина, то мы отправляем её в авторемонтную мастерскую; если у кого-нибудь из нас болит живот, то мы обращаемся к врачу или идём в аптеку. Мы полагаемся либо на здравый смысл и практический опыт, либо на профессиональные познания других людей.

Кроме того, полезность той или иной науки имеет побочный интерес, относящийся к педагогике и составляющий предмет забот директоров частных школ, которым необходимо давать рекомендации родителям, с пеной у рта требующих «полезного» образования для своих сыновей. Разумеется, мы отнюдь не имеем в виду, что если физиология является полезной, то большинство людей должно изучать физиологию. Смысл сказанного нами состоит в другом: развитие физиологии усилиями экспертов будет способствовать повышению комфортности большинства людей. Вопрос, представляющий интерес для нас сейчас, заключается в том, в какой мере математика может претендовать на полезность такого рода, какие разделы математики особенно сильно претендуют на полезность, и насколько интенсивное изучение математики может быть обосновано только из соображений полезности. 74 

21

Возможно, уже стало очевидным, к каким заключениям я прихожу, поэтому мне хотелось бы сформулировать их сначала догматически, а затем рассмотреть несколько подробнее. Не подлежит сомнению, что значительная часть элементарной математики (я употребляю это слово в том смысле, в каком его используют профессиональные математики, — при таком понимании элементарная математика включает в себя, например, уверенное рабочее владение дифференциальным и интегральным исчислениями) обладает значительной практической полезностью. В целом эти разделы математики очень скучны; это те самые разделы, которые обладают наименьшей эстетической ценностью. «Настоящая» математика «настоящих» математиков, математика Ферма, Эйлера121, Гаусса, Абеля и Римана, почти полностью «бесполезна» (это верно как в отношении «прикладной», так и в отношении «чистой» математики). Жизнь любого настоящего профессионального математика невозможно оправдать на основании одной лишь «полезности» его трудов.

Здесь мне необходимо коснуться одного заблуждения. Иногда выказывается мнение, что чистые математики приписывают себе в хвалу бесполезность своих трудов14) и даже хвастаются тем, что эти труды не имеют практических приложений. Такое обвинение обычно исходит из неосторожного высказывания, приписываемого Гауссу, который якобы сказал, что если математика — царица наук, то теория чисел в силу своей абсолютной бесполезности — царица математики. Точную цитату мне так и не удалось найти. Я уверен, что высказывание Гаусса (если он когда-либо высказывал нечто подобное) весьма грубо искажается. Если бы теорию чисел можно было использовать для любой практической и явно почтенной цели, если бы её можно было непосредственно направить на достижение человеческого счастья или утоления человеческих страданий, как в случае физиологии или даже химии, то не подлежит сомнению, что ни Гаусс, ни какой-либо другой математик 75  не были бы столь глупы, чтобы приуменьшать такие приложения или сожалеть о них. Но наука работает как во зло, так и на пользу (особенно во время войны). И Гаусса, и математиков меньшего ранга можно оправдать в их радости по поводу того, что существует по крайней мере одна наука (и это та самая наука, которой они занимаются), чью удаленность от обычной человеческой деятельности во всех её проявлениях необходимо блюсти в чистоте и неприкосновенности.

22

Существует ещё одно заблуждение, которое нам необходимо прояснить. Совершенно естественно предположить, что существует огромное различие в полезности между «чистой» и «прикладной» математикой. Это заблуждение: существует резкое различие между чистой и прикладной математикой, которое я сейчас объясню, но оно слабо влияет на их полезность.

Чем же чистая математика отличается от прикладной? На этот вопрос можно ответить со всей определённостью. Более того, по поводу ответа между математиками существует общее согласие. В моём ответе нет ничего хотя бы сколько-нибудь неортодоксального, но он нуждается в небольшом предисловии.

Следующие два раздела имеют слабый философский привкус. Философия не входит особенно глубоко в мои основные тезисы и не имеет жизненно важного значения для них, но я буду использовать слова, которые очень часто влекут за собой определённые философские импликации и поэтому они могут ввести читателя в заблуждение, если не объяснить, в каком смысле я буду использовать их в дальнейшем.

Я часто использую прилагательное «настоящий» так, как оно употребляется нами в обычном разговоре. Я уже говорил о «настоящей математике» и «настоящих математиках». С тем же успехом я мог бы говорить о «настоящей поэзии» или «настоящих поэтах», и я буду продолжать действовать в том же духе. Но я буду также использовать слово «реальность» в двух следующих различных значениях.

Прежде всего я буду говорить о «физической реальности», и при этом я буду снова использовать слово «реальность» в обычном смысле. Под физической реальностью я понимаю материальный мир дня и ночи, землетрясений и затмений, мир, который пытается описать физическая наука. 76 

До сих пор у меня не возникало опасений относительно того, что у кого-нибудь из моих читателей могут возникнуть трудности с моим употреблением слов, но теперь я вступаю на более зыбкую почву. Для меня и, думаю, для большинства математиков существует другая реальность, которую я буду называть «математической реальностью», и среди математиков или философов нет единого мнения относительно природы математической реальности. Одни полагают, что она существует «в умах» и, что мы, в некотором смысле, конструируем её. Другие считают, что она лежит вне нас и не зависит от нас. Человек, который мог бы дать убедительное описание математической реальности, разрешил бы очень многие из труднейших проблем метафизики. Если бы такой человек мог включить в своё описание и физическую реальность, то он разрешил бы все проблемы метафизики.

Мне не следовало бы обсуждать любой из этих вопросов, даже если бы я был достаточно компетентен для этого, но я изложу свою позицию догматически, чтобы избежать малейшего недопонимания. Я убеждён в том, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или обозревать её, и что теоремы, которые мы доказываем и великоречиво описываем как наши «творения», по существу представляют собой наши заметки о наблюдениях математической реальности. Эту точку зрения в той или иной форме разделяли многие философы самого высокого ранга, начиная с Платона, и я буду пользоваться языком, естественным для человека, разделяющего эту точку зрения. Читатель, не любящий философию, может изменить язык — это мало что изменит в моих заключениях.

23

Контраст между чистой и прикладной математикой выступает, по-видимому, с наибольшей ясностью в геометрии. Существует наука чистой геометрии15), включающая в себя многочисленные геометрии: проективную, евклидову, неевклидову и т. д. Каждая из этих геометрий переставляет собой модель, образ из идей, и судить о ней следует по интересу и красоте её индивидуального «образа». Это карта или картина, совместный продукт многих рук, частичная и несовершенная (но тем не менее точная на всём своём протяжении) копия фрагмента математической 77  реальности. Но для нас сейчас важно то, что есть нечто такое, по отношению к чему чистые геометрии не являются картинами, а именно: пространственно-временная реальность физического мира. В том, что чистые геометрии не могут быть картинами реальности, нет ни малейшего сомнения, так как землетрясения и затмения не принадлежат к числу математических концепций.

Для постороннего человека это звучит несколько парадоксально, но для геометрии это — труизм. Возможно, я смогу пояснить свою мысль на примере: предположим, что я читаю лекцию по одной из систем геометрии, например, по обычной евклидовой геометрии, и рисую на доске фигуры, чтобы стимулировать воображение моей аудитории, — грубые чертежи из прямых, окружностей или эллипсов. Ясно, что истинность доказываемых мной теорем не зависит от качества моих чертежей. Их функция состоит лишь в том, чтобы донести до моих слушателей то, что я имею в виду, и если я смогу это сделать, то не будет пользы от того, что их перерисует искусный чертёжник. Мои чертежи выполняют вспомогательную педагогическую функцию и не являются тем, что составляет предмет моей лекции.

Сделаем ещё один шаг. Помещение, в котором я читаю лекцию, составляет часть физического мира и само обладает определённым образом. Изучение этого образа и общего образа физической реальности само по себе является наукой, которую можно назвать «физической геометрией». Предположим теперь, что в аудиторию поместили мощную динамомашину или массивное гравитирующее тело. Физики скажут нам, что геометрия помещения изменилась, что весь его физический образ немного, но совершенно определённо исказился. Стали ли ложными теоремы, которые я доказал. Ясно, что было бы глупо ожидать, будто на доказательствах теорем, которые я приводил на лекции, каким-то образом сказалось наличие в аудитории динамомашины или гравитирующего тела. Это аналогично предположению о том, что пьеса Шекспира изменилась от того, что некий читатель пролил на страницу чай. Пьеса не зависит от страниц, на которых она напечатана, и «чистые геометрии» не зависят от комнаты, в которой читается лекция или от любых других деталей физического мира.

Такова точка зрения чистого математика. Естественно, что прикладные математики, математические физики придерживаются другой точки зрения, так как они имеют дело с самим физическим миром, который также обладает своей структурой, или образом. Мы не можем 78  дать точное описание этого образа, как в случае чистой геометрии, но можем сказать о нём нечто важное. Мы можем описать, иногда с достаточной точностью, иногда — лишь в общих чертах, отношения между некоторыми составляющими структуры физического мира и сравнить их с точными отношениями между составляющими какой-нибудь системы чистой геометрии. Мы можем уловить некоторые сходства между двумя наборами отношений, и тогда чистая геометрия обретает интерес для физиков. В этом случае мы получаем карту, согласующуюся с фактами физического мира. Геометр предлагает физику целый набор карт на выбор. Возможно, что одна карта будет лучше соответствовать фактам, чем другие. В этом случае геометрия, порождающая лучшую карту, окажется геометрией, наиболее важной для прикладной математики. Можно добавить, что оценка такой геометрии даже со стороны чистого математика может повыситься, так как нет математика настолько чистого, чтобы он был напрочь лишен интереса к физическому миру, но в той мере, в какой он уступит этому искушению, он утратит свою позицию чистого математика.

24

Есть ещё одно замечание, которое напрашивается в этой связи. Физикам оно может показаться парадоксальным, хотя в настоящее время парадокс выглядит менее удивительным, чем восемнадцать лет назад. Я приведу его почти в тех же словах, в каких он был сформулирован в моём докладе на секции А Британской ассоциации122. Моя аудитория почти целиком состояла из физиков, и поэтому вполне возможно, что моя речь была несколько провокационной. Впрочем, что касается её содержания, то я и сейчас целиком разделяю высказанную тогда позицию.

Я начал с утверждения о том, что различия между позициями математика и физика меньше, чем обычно принято думать. Самое важное заключается в том, что математик контактирует с действительностью гораздо ближе, чем физик. Такое утверждение может показаться парадоксом, так как именно физика, изучающего материальные предметы и явления, обычно принято называть «реалистом». Но достаточно немного поразмыслить, чтобы понять, что физическая реальность, какой 79  бы она ни была, обладает весьма немногими атрибутами (если обладает ими вообще), которые здравый смысл интенсивно приписывает реальности. Стул может быть набором обращающихся вокруг ядер электронов или идеей в уме Господа Бога — каждое из этих описаний, возможно, обладает своими достоинствами, но ни одно из них не соответствует представлениям здравого смысла.

Далее я заметил, что ни физики, ни философы не дали сколько-нибудь убедительного описания «физической реальности» или того, как физик переходит от запутанной массы фактов или ощущений, с которой он начинает, к конструкции тех объектов, которые физик называет «реальными». Например, мы не можем сказать, будто бы нам известно, что такое физика, но это отнюдь не должно мешать нам понимать в общих чертах, что именно пытается делать физик. Ясно, что физик пытается скооперировать разрозненную массу сырых фактов, с которыми он сталкивается, имея в своём распоряжении некоторую определённую упорядоченную схему абстрактных отношений — ту разновидность схемы, которую физик может позаимствовать только из математики.

С другой стороны, математик имеет дело со своей собственной математической реальностью. Как было объяснено в §22, я предпочитаю «реалистическую», а не «идеалистическую» точку зрения на математическую реальность. Во всяком случае (и в этом состоял мой главный тезис), такая реалистическая точка зрения на математическую реальность гораздо более правдоподобна, чем на физическую реальность потому, что математические объекты в гораздо большей степени таковы, какими они кажутся. Стул или звезда ничуть не похожи на то, чем они кажутся; чем больше мы думаем об этом, тем более расплывчатыми становятся их очертания в мареве окружающих их ощущений; но «2» или «317» не имеют никакого отношения к ощущениям, и свойства числа выступают тем более отчётливо, чем пристальнее мы его рассматриваем. Возможно, что современная физика лучше всего укладывается в рамки идеалистической философии. Лично я в это не верю, но так говорят некоторые выдающиеся физики. С другой стороны, чистая математика представляется мне скалой, на которой зиждется идеализм: число 317 простое не потому, что мы думаем так, и не потому, что наш разум устроен так, а не иначе, а потому, что это так, потому, что математическая реальность устроена так. 80 

25

Эти различия между чистой и прикладной математикой важны сами по себе, но не имеют особого отношения к нашему обсуждению «полезности» математики. В §21 я говорил о «настоящей» математике Ферма и других великих математиков — математике, имеющей непреходящую эстетическую ценность, как, например, лучшие образцы древнегреческой математики, математике вечной потому, что её лучшие произведения, подобно лучшим литературным произведениям, продолжают доставлять эмоциональное удовлетворение тысячам людей и поныне, тысячи лет спустя. Творцы этой математики были преимущественно чистыми математиками (хотя в то время различие между чистой и прикладной математикой было значительно менее чётким, чем теперь), но я думал не только о чистых математиках. К «настоящим» математикам я причисляю Максвелла и Эйнштейна, Эддингтона123 и Дирака. Великие современные достижения в области прикладной математики были и в теории относительности, и в квантовой механике, и эти разделы науки, по крайней мере сейчас, почти столь же «бесполезны», как и теория чисел. На добро или на зло работают скучные элементарные разделы прикладной математики, равно как и скучные элементарные разделы чистой математики. Время может коренным образом изменить всё это. Никто не предвидел, что теории матриц и групп, а также другие чисто математические теории найдут применение в современной физике, и вполне может случиться так, что какие-то разделы «высоколобой» математики неожиданно станут «полезными». Но, как показывает накопленный опыт, как в одной области знания, так и в другой, в практической жизни полезно то, что обыденно и скучно.

Я помню Эддингтона, подававшего счастливый пример непривлекательности «полезной» науки. Британская ассоциация проводила заседание в Лидсе, и кому-то пришла в голову мысль, что её членам, возможно, будет интересно послушать о приложениях науки в индустрии обработки шерсти. Но организованные с этой целью лекции и демонстрации потерпели фиаско. Выяснилось, что члены Ассоциации (независимо от того, были ли они жителями Лидса или нет) жаждали развлечений, а индустрия обработки шерсти не была особенно занимательной. Поэтому посещаемость лекций была разочаровывающе низкой. Что же касается лекций о раскопках на Кноссе, теории относительности или теории простых чисел, то они вызвали восторженные отзывы собиравшейся на них аудитории. 81 

26

Какие разделы математики полезны?

Прежде всего те, что составляют школьную математику: арифметика, элементарная алгебра, элементарная евклидова геометрия, начала дифференциального и интегрального исчисления. Из этого перечня нам придётся исключить некоторое количество того, чему учат «специалистов», например, проективную геометрию. В прикладной математике полезны элементы механики (теорию электричества в том виде, в котором её преподают в школе, следует классифицировать как физику).

Полезна также значительная часть университетской математики, а именно та её часть, которая по существу служит продолжением школьной математики, но с более изощрённым аппаратом, и некоторые физики, такие, как теория электричества и гидромеханика. Следует помнить, что любой запас знаний всегда является преимуществом и что самые практичные математики могут оказаться в серьёзном затруднении, если их знания ограничены голым минимумом, включающим в себя только самое необходимое. Из этих соображений к каждому из перечисленных выше разделов математики необходимо немного добавить. Что же касается нашего общего заключения, то оно сводится к следующему: математика полезна в том объеме, в котором она востребована инженером высшей квалификации или физиком «средней руки», или, иначе говоря, «полезная» математика не отличается особыми эстетическими достоинствами. Например, евклидова геометрия полезна постольку, поскольку она скучна — нам ни к чему аксиомы о параллельных, теория пропорций или построение правильного пятиугольника.

Возникает одно прелюбопытное заключение: чистая математика в целом явно более полезна, чем прикладная. Чистая математика обладает преимуществом перед прикладной математикой и с практической, и с эстетической стороны. Наиболее полезен прежде всего математический аппарат, или математическая техника, а его изучают главным образом при помощи чистой математики.

Надеюсь, нет необходимости особо оговаривать, что я отнюдь не пытаюсь умалить или принизить математическую физику — великолепную научную дисциплину с замечательными проблемами, решение которых даёт широчайший простор самому буйному воображению. Но 82  не заслуживает ли положение обычного прикладного математика небольшого сочувствия? Если он хочет быть полезным, то ему приходится использовать скучные, банальные методы, и он не может дать волю своей фантазии, даже если желает подняться до небывалых высот. «Воображаемые» вселенные намного прекраснее тупо построенной «реальной» вселенной, и большинство прекраснейших плодов фантазии прикладного математика должны быть отвергнуты сразу же после того, как их сотворили, на том жёстком, но достаточном основании, что они не согласуются с фактами.

Общее заключение достаточно понятно. Если под полезным знанием, как мы временно согласились, понимать такое, которое либо сейчас, либо в сравнительно недалёком будущем, будет способствовать материальному комфорту человечества (т. е. чисто интеллектуальное удовлетворение в расчёт не принимается), то огромная часть высшей математики бесполезна. Современная геометрия и алгебра, теория чисел, теория множеств и функции, теория относительности, квантовая механика — ни одна из этих наук не удовлетворяет критерию полезности намного лучше, чем другая, и нет ни одного настоящего математика, жизнь которого можно было бы оправдать на этой основе. Если придерживаться этого критерия, то Абель, Риман и Пуанкаре^158) прожили свою жизнь напрасно; их вклад в комфорт человечества ничтожно мал, и мир без них ничего бы не потерял.

27

Против предложенного мной понимания понятия «полезность» можно было бы возразить, указав на то, что я определил его в терминах «счастья» или «комфорта», игнорируя общие «социальные» последствия математики, которым современные авторы с различными пристрастиями и вкусами стали уделять большое внимание. Например, Уайтхед (бывший математиком) толкует об «огромном влиянии математического знания на жизнь людей, их повседневные занятия, организацию общества». Хогбен (не питающий тёплых чувств к тому, что я и другие математики называем математикой и к чему Уайтхед относится вполне положительно) говорит о том, что «без знания математики, грамматики величины и порядка, мы не можем планировать рациональное общество, в котором благосостояние для всех и нищета ни для для кого» (равно как и многие другие авторы). 83 

Не думаю, чтобы всё это красноречие могло особенно успокоить математиков. Язык обоих авторов изобилует чудовищными преувеличениями, и они оба игнорируют весьма очевидные различия. В случае Хогбена это вполне естественно, так как он по всеобщему мнению не математик; под «математикой» он понимает ту математику, которая доступна его разумению, — я называю её «школьной» математикой. Нельзя не признать, что эта математика имеет многочисленные приложения, которые, если угодно, можно было бы назвать «социальными». Хогбен всячески подкреплял их многочисленными интересными экскурсиями в историю математических открытий. Такой прием следует признать удачным, так как он позволяет Хогбену довести до сознания многих читателей его книги, которые не были и никогда не будут математиками, что в математике есть много больше, чем они думали. Вместе с тем Хогбен едва ли понимает, что такое «настоящая» математика (это становится ясно каждому, кто прочитает, что Хогбен пишет о теореме Пифагора, об Евклиде и Эйнштейне), и не питает к ней тёплых чувств (не скрывая этого). «Настоящая» математика для Хогбена — не более чем объект сочувственной жалости.

В случае Уайтхеда трудность заключается не в недостатке понимания или сочувствия: преисполненный энтузиазмом, он забывает об отличительных особенностях математики, которые ему хорошо знакомы. Математика, которая оказывает «огромное влияние» на «повседневные занятия людей» и «организацию обществ», — это математика не Уайтхеда, а Хогбена. Математика, которую можно использовать «для обычных целей обычными людьми», незначительна, а та математика, которую могут использовать экономисты или социологи, вряд ли поднимается до уровня колледжа. Математика Уайтхеда может оказать глубокое влияние на астрономию или физику, значительное — на философию (высокое мышление одного рода всегда с большей вероятностью влияет на высокое мышление другого рода), но на всём остальном сказывается весьма слабо. «Огромное влияние» математика Уайтхеда оказывает не на людей вообще, а на самого Уайтхеда.

28

Итак, существует две математики. Существует «настоящая» математика «настоящих» математиков и то, что я назвал бы, за отсутствием 84  лучшего слова, «тривиальной» математикой. Существование тривиальной математики можно было бы оправдать ссылкой на Хогбена или других авторов его школы, но для реальной математики, которую надлежит оправдать как искусство, если её вообще можно оправдать, такой апологии не существует. В этой точке зрения, обычно разделяемой математиками, нет ничего парадоксального или необычного.

У нас остался ещё один вопрос, который необходимо рассмотреть. Мы пришли к заключению, что тривиальная математика в целом полезна, а настоящая математика — нет. Однако до сих пор нам неизвестно, не приносит ли тривиальная или настоящая математика вреда. Было бы парадоксально думать, что математика того или иного сорта может причинить много вреда в мирное время, поэтому мы с необходимостью приходим к рассмотрению влияния математики на войну. Обсуждать такие вопросы бесстрастно ныне весьма трудно, и я предпочёл бы уклониться от их рассмотрения. Тем не менее полностью воздержаться от обсуждения не представляется возможным. К счастью, такое обсуждение не обязательно должно быть длинным.

Существует одно утешительное заключение, приятное для настоящего математика: настоящая математика не оказывает влияния на войну. Никому ещё не удалось обнаружить ни одну военную, или имеющую отношение к войне, задачу, которой служила бы теория чисел или теория относительности, и маловероятно, что кому-нибудь удастся обнаружить нечто подобное, на сколько бы лет мы ни заглядывали в будущее. Правда, существует такие разделы прикладной математики, как баллистика и аэродинамика, которые были намеренно созданы для военных нужд и требуют тонкого математического аппарата. Их трудно назвать «тривиальными», но ни баллистика, ни аэродинамика не претендуют на ранг «настоящих». И та, и другая отталкивающе безобразны и нестерпимо скучны. Даже Литлвуд не смог придать баллистике респектабельность, а если это не удалось ему, то кому же это по силам? Таким образом, совесть реального математика чиста; нет ничего такого, что бы поставило под сомнение ценность его работы; как я сказал в своей инаугурационной лекции в Оксфорде, математика — занятие «безвредное и невинное».

С другой стороны, тривиальная математика имеет много военных приложений. Например, специалисты по артиллерийским системам и авиаконструкторы не могли бы выполнять свою работу без тривиальной математики. Общий эффект таких приложений ясен: математика 85  способствует (хотя и не столь явно, как физика или химия) ведению современной научной «тотальной» войны.

Стоит ли сожалеть об этом — не так ясно, как может показаться на первый взгляд, так как по поводу современной научной войны существуют два резко противоположных мнения. Согласно первому, наиболее очевидному, мнению, воздействие науки на войну заключается лишь в том, что наука усиливает ужас войны, увеличивая страдания меньшинства, которое вынуждено сражаться, и распространяя эти страдания на другие классы. Это — самая естественная и ортодоксальная точка зрения. Но существует и другое, весьма отличное от первого, мнение, которое также кажется вполне логичным. Его с огромной силой сформулировал Холдейн124 в «Каллиникусе»16). Можно согласиться с тем, что современная война менее ужасна, чем война до научных времён; что бомбы как оружие милосерднее, чем штыки; что слезоточивый и горчичный газы, насколько можно судить, — самое гуманное оружие, когда-либо изобретённое военной наукой; и что ортодоксальная точка зрения зиждется исключительно на сентиментализме, оперирующем смутными понятиями17). Можно также настаивать на том (хотя это и не входило в число тезисов Холдейна), что выравнивание рисков, которое, как ожидается, в конечном счёте принесет наука, отрадно; что жизнь «штатского» имеет отнюдь не большую ценность, чем жизнь военного, а жизнь женщины стоит не больше, чем жизнь мужчины, что угодно лучше, чем сосредоточение варварства в каком-то одном классе, и что короче говоря, чем скорее война «будет исчерпана», тем лучше.

Я не знаю, какой из перечисленных тезисов ближе к истине. Вопрос этот весьма злободневен и волнует многих, но мне не хотелось бы останавливаться на его обсуждении. Он затрагивает только «тривиальную» математику, отстаивать которую скорее дело Хогбена, чем моё. Его математика изрядно запятнана участием в военных делах, тогда как моя математика не имеет к ним никакого отношения.

По этому поводу следует сказать ещё кое-что, так как существует по крайней мере одна цель, во имя которой реальная математика может 86  служить войне. Когда мир сходит с ума, математик может найти несравненное успокаивающее средство в математике. Из всех искусств и наук математика — наиболее чистая и наиболее абстрактная, и математик из всех людей должен быть тем самым, кто легче всего может найти убежище там, где по словам Бертрана Рассела «по крайней мере один из наших благородных импульсов может наилучшим образом найти себе приют и спасение от унылого плена реального мира». Жаль, что в этом месте приходится делать одну весьма серьёзную оговорку: математик не должен быть слишком старым. Математика — наука не созерцательная, а творческая; тот, кто утратил способность или желание творить, не сможет получить от математики особенно много утешения. Это происходит с математиком довольно скоро. Это печально, но математик ничего не может сделать по этому поводу, и беспокоиться об этом было бы глупо.

29

Я закончу тем, что приведу обзор моих заключений, но изложу их в более личной манере. Я уже говорил в начале, что всякий, кто занимается апологией своего дела, обнаруживает, что он занимается апологией самого себя, и моя апология жизни профессионального математика, если разобраться, является попыткой оправдать мою собственную жизнь. Поэтому заключительный раздел моей «Апологии» по существу представляет собой фрагмент моей автобиографии.

Сколько я себя помню, мне никогда не хотелось стать кем-нибудь ещё, кроме как математиком. Думаю, всегда было ясно, что мои индивидуальные способности лежат именно в области математики, и мне никогда не приходило в голову поставить под сомнение вердикт старших. Не помню, чтобы в детстве я испытывал страсть к математике, и представления, какие могли сложиться у меня в ту пору, о карьере математика, были далеки от возвышенных и благородных. Я размышлял о математике как о серии экзаменов и стипендий: мне хотелось одолеть других мальчишек, и мне казалось, что в математике я смогу осуществить свою мечту наиболее определённо.

Мне было около пятнадцати лет, когда (весьма странным образом) мои амбиции приняли более определённые очертания. Есть такая книга, принадлежащая перу некого «Алана Сент-Обина»18), под названием 87  «Член Тринити-колледжа», одна из серии книг, описывавших то, что, как предполагалось, было жизнью в кембриджских колледжах. Думаю, что эта книга была хуже, чем большинство книг Мори Корелли, но книга миссис Маршалл не могла быть совсем уж плохой, если она могла зажечь воображение пятнадцатилетнего мальчишки. В книге было два героя — главный по фамилии Флауэрс, который почти всегда был хорошим, и второстепенный персонаж по фамилии Браун, человек менее благонадежный. Флауэрса и Брауна в университетской жизни подстерегали многочисленные опасности, самой ужасной из которых был игорный салон в Честертоне, который содержали две очаровательные, но чрезвычайно испорченные молодые леди. Флауэрс благополучно преодолевает все соблазны, становится Вторым ранглером и Старшим классиком, что обеспечивает ему автоматическое избрание в члены колледжа (надеюсь, что именно так он и поступил). Что же касается Брауна, то он не выдерживает искушений, разоряет своих родителей, спивается и спасается от белой горячки в самый разгар бури только молитвами младшего декана, с большим трудом получает степень бакалавра без отличия и в конце концов становится миссионером. Эти злоключения Брауна не наносят ущерба дружбе, и попивая портвейн с жареными каштанами в свой первый вечер в профессорской столовой, Флауэрс с сочувственной жалостью размышляет о бедняге Брауне. Флауэрс был вполне славным парнем (насколько «Алан Сент-Обин» нарисовал его образ), но даже мой неизощрённый ум отказывался признать его умным. Но если он мог проделывать всё, о чём написано в моей книге, то почему это не могу проделать я? В частности, меня восхитила финальная сцена в профессорской столовой, и с того времени и до тех пор, пока я не стал членом Тринити-колледжа, математика означала для меня главным образом членство в Тринити.

Прибыв в Кембридж, я тотчас же узнал, что членство в колледже подразумевало «оригинальную работу», но прошло немало времени, прежде чем у меня сформировалось сколько-нибудь ясное представление о моём самостоятельном исследовании. Разумеется, в школе я, как всякий будущий математик, обнаружил, что нередко могу решать задачи гораздо лучше, чем мой учитель, и даже в Кембридже мне удавалось решать задачи лучше некоторых преподавателей, хотя это, естественно, происходило гораздо реже, чем в школе. Но в действительности, даже когда прошёл Трайпос, я оставался полным невеждой в тех самых проблемах, которым посвятил всю остальную жизнь. О математике 88  я по-прежнему думал как по существу «состязательной» науке. Впервые мне открыл глаза профессор Ляв, у которого я проучился несколько семестров. У него же я получил первое серьёзное представление о математическом анализе. Но более всего я обязан ему за то, что он, будучи по существу прикладным математиком, посоветовал мне прочитать знаменитый «Курс математического анализа» Жордана. Никогда не забуду изумление, которое охватило меня при чтении этой замечательной книги, ставшей первым источником вдохновения для столь многих математиков моего поколения. Прочитав её, я впервые понял, что такое математика. С тех пор я на свой собственный лад стал настоящим («реальным») математиком со здоровыми математическими амбициями и подлинной страстью к математике.

За следующие десять лет я написал много работ, но очень мало из них имели хотя бы какое-то значение: лишь четыре или пять из них я всё ещё могу вспомнить с некоторым удовлетворением. Настоящий перелом в моей карьере наступил дважды: через десять или двенадцать лет — в 1911 году, когда я начал продолжительное сотрудничество с Литлвудом, и в 1913 году, когда я открыл Рамануджана. С тех пор все мои лучшие работы были связаны с их работами, и не подлежит сомнению, что моё сотрудничество с ними стало решающим событием моей жизни. Я и сейчас говорю себе, когда мне приходится выслушивать помпезных докучливых людей: «А всё-таки мне удалось сделать одну вещь, которую ни за что не удастся сделать вам: я сотрудничал с Литлвудом и Рамануджаном на равных». Именно им, Литлвуду и Рамануджану, я обязан необычно поздней зрелостью: мой расцвет как математика произошёл, когда мне было слегка за сорок и я был профессором в Оксфорде. Затем наступила фаза всё большего угасания — обычная судьба престарелых людей, в особенности престарелых математиков. В шестьдесят лет математик может оставаться вполне компетентным, но бесполезно ожидать от него оригинальных идей.

Ныне жизнь моя, если иметь в виду то, ради чего стоит жить, закончена, и я не могу сделать ничего такого, что бы сколь-нибудь значительно увеличило или уменьшило её ценность. Очень трудно быть беспристрастным, но я считаю, что моя жизнь прожита «успешно». Я был достаточно вознаграждён — не меньше, чем причитается человеку моих способностей. Я занимал ряд приличных и «престижных» постов. Не имел никаких хлопот, связанных с утомительной университетской рутиной. Я ненавидел «преподавание», и мне пришлось очень 89  мало им заниматься. То, что выпало на мою долю по части преподавания, сводилось почти исключительно к руководству исследованиями. Я любил читать лекции и читал много лекций чрезвычайно способным студентам, и у меня всегда оставалось много свободного времени для собственных работ, которые служили великим и неизбывным счастьем моей жизни. Оказалось, что я легко могу работать с другими, и мне выпало основательно посотрудничать с двумя исключительными математиками. Это позволило мне внести в математику гораздо больший вклад, чем я мог бы рассчитывать в разумных пределах. Как и у любого другого математика, у меня были разочарования, но ни одно из них не было слишком серьёзным и не сделало меня особенно несчастным. Если бы мне предложили прожить такую же жизнь, не лучше и не хуже, когда мне было бы двадцать лет, то я согласился бы без малейших колебаний.

Было бы абсурдно полагать, будто я мог бы «добиться большего». Я не обладаю ни лингвистическими ни артистическими способностями и не питаю ни малейшего интереса к экспериментальной науке. Я мог бы быть сносным философом, но не очень оригинальным. Полагаю, что из меня мог бы получиться хороший адвокат, но журналистика — единственная профессия вне академической жизни, в которой я реально мог бы иметь шанс на успех. Нет сомнения в том, что я правильно выбрал профессию математика, если судить по критерию, который принято называть успехом.

Итак, если я хотел разумно комфортной и счастливой жизни, то мой выбор был правильным. Но адвокаты, биржевые брокеры и букмекеры нередко тоже ведут комфортную и счастливую жизнь, и что-то не видно, чтобы мир становился богаче от их существования. Есть ли какой-нибудь смысл в моём утверждении, что моя жизнь была менее тщетной, чем их? И снова я вижу лишь один возможный ответ: возможно, есть, но если это и так, то лишь по одной причине.

Я никогда не делал ничего «полезного». Ни одно моё открытие не способствовало ни прямо, ни косвенно увеличению или уменьшению добра или зла и не оказало ни малейшего влияния на благоустроенность мира. Я помогал воспитывать других математиков, но математиков такого же рода, как и я сам, и их работы, во всяком случае в той части, в которой я помогал им, были столь же бесполезны, как и мои собственные работы. По любым практическим меркам ценность моей математической жизни равна нулю, а вне математики она, так или 90  иначе, тривиальна. У меня есть лишь один шанс избежать вердикта полной тривиальности — если будет признано, что я создал нечто такое, что заслуживает быть созданным. А в том, что мне удалось создать нечто такое, нет сомнения: вопрос заключается лишь в том, насколько ценно то, что я создал.

Смысл моей жизни или жизни кого-нибудь ещё, кто был математиком в том же смысле, в каком был математиком я, заключается в следующем: я внёс нечто своё в сокровищницу знания и помог другим сделать то же, и эти «нечто» обладали ценностью, которая отличалась только величиной, но никак не сущностью, от творений великих математиков или любых других художников, больших и малых, которые оставили после себя нерукотворные памятники. 91 


Примечание

Профессор Броуд и д-р Сноу заметили в беседе со мной, что если я хочу продемонстрировать точный баланс между добром и злом, приносимым наукой, мне не следует чрезмерно сосредотачивать внимание на влиянии науки на войну и, что даже если я размышляю об этом влиянии, мне не следует забывать о том, что вмешательство науки влечёт за собой множество очень важных последствий помимо чисто разрушительных. Так (если начать с последнего пункта), я должен напомнить, что (а) организация всего населения на войну возможна только научными методами; (б) наука значительно увеличивает силу пропаганды, используемой почти исключительно во зло; и (в) наука сделала «нейтральность» почти невозможной или бессмысленной, в результате чего напрочь исчезли «острова мира», из которых после войны могли бы распространиться здравый смысл и восстановление. Всё это, разумеется, свидетельствует против науки. С другой стороны, если довести ситуацию до предела, то вряд ли возможно всерьёз считать, что добро, творимое наукой, не перевешивает полностью творимое ею же зло. Например, если бы каждая война уносила десять миллионов человеческих жизней, то суммарный эффект науки всё же сводился бы к увеличению средней продолжительности жизни. Короче говоря, §28 моей «Апологии» излишне «сентиментален».

Не стану оспаривать обоснованность этой критики, но по причинам, изложенным мной в предисловии, я счёл невозможным учесть замечания профессора Броуда и д-ра Сноу в тексте и ограничиваюсь этим признанием.

Д-р Сноу сделал также интересное замечание по поводу §8. Даже если мы согласимся с тем, что «Архимеда будут помнить и тогда, когда Эсхила забудут», то не является ли математическая слава немного слишком «анонимной» для того, чтобы быть полностью удовлетворительной? Исходя только из произведений, мы могли бы составить непротиворечивый портрет личности Эсхила (и в ещё большой степени Шекспира или Толстого), в то время как Архимед и Евдокс и после тщательного изучения их трудов остались бы только именами. 92 

Более красочное замечание по этому поводу принадлежит мистеру Дж. М. Ломасу. Как-то раз мы с ним проходили мимо нельсоновской колонны125 на Трафальгар-сквер126, он спросил: «Если бы вы были статуей на колонне, воздвигнутой на одной из площадей Лондона, что бы вы предпочли: чтобы та колонна была такой высокой, что статуя скрылась бы из виду, или достаточно низкой, чтобы можно было бы различить детали статуи?» Я предпочёл бы первую альтернативу, д-р Сноу, по-видимому, предпочёл бы вторую. 93 


Примечания автора

1.

См. его письма о «гекслете» в журнале «Nature», 1936–1937, vols. 137–139, а также статью М. Л. Гервера «Сюрпризы», опубликованную в журнале «Квант», 1974, № 1, и книгу К. Е. Левитина «Геометрическая рапсодия» (М., «Камерон», 2004). E.G.A..

2.

«Начала», кн. IX, предложение 20. Подлинное происхождение многих теорем в «Началах» Евклида неизвестно, но нет никаких причин предполагать, что эта теорема не принадлежит самому Евклиду.

3.

По техническим причинам число 1 простым не считается.

4.

Доказательство может быть организовано так, чтобы избежать использования этого метода, и логики некоторых школ предпочитают не прибегать к доказательству от противного.

5.

Доказательство по традиции принято приписывать Пифагору. Оно заведомо является продуктом пифагоровой школы. В гораздо более общей форме теорема встречается у Евклида («Начала», кн. X, предложение 9).

6.

Евклид. «Начала», кн. I, предложение 47.

7.

См. «Введение в теорию чисел» Харди и Райта (глава IV), где рассмотрены различные обобщения доказательства Пифагора и историческая загадка о Теэтете.

8.

Whitehead A. N. Science and the Modern World, p. 33.

9.

Whitehead A. N. Science and the Modern World, p. 44.

10.

Whitehead A. N. Science and the Modern World, p. 46.

11.

Предполагается, что во всей Вселенной содержится около 1080 протонов. Число 1010¹º, если его записать в развёрнутом виде, заняло бы около 50000 томов средней величины.

12.

В §14 я упомянул о том, что существует 50 847 478 простых чисел, не превосходящих числа 1 000 000 000, но это предел, до которого простирается наше точное значение.

13.

Мне кажется, что теперь достоинством шахматной проблемы считается наличие у неё многих вариаций решений одного и того же типа.

14.

Мне приходилось слышать обвинения и в свой адрес, будто бы я разделяю подобное мнение. Однажды я высказал следующую мысль: «Говорят, что наука полезна, если её развитие обостряет существующие неравенства в распределении богатства или более непосредственно способствует разрушению человеческой жизни». Эту фразу, написанную в 1915 году, неоднократно цитировали (как в мою пользу, так и против меня). Разумеется, её следует рассматривать как чисто риторический оборот, хотя, возможно, и простительный в то время, когда он был написан.

15.

Для целей нашего обсуждения нам придётся, разумеется, отнести к чистой геометрии то, что математики называют «аналитической геометрией».

16.

Haldane J. В. S. Callinicus: a Defence of Chemical War, 1924.

17.

Мне не хотелось бы выносить поспешное суждение об этом вопросе, используя этот часто неправильно используемый термин; «сентиментализм» может быть вполне обоснованно применен для обозначения некоторых неуравновешенных эмоций. Разумеется, термин «сентиментализм» многие неправильно используют для обозначения достойных чувств других людей, а «реализм» для маскировки собственной жестокости.

18.

«Аланом Сент-Обином» была миссис Фрэнсиз Маршалл, жена Мэттью Маршалла.


Примечания переводчика

1.

Высокий стол — стол на некотором возвышении в трапезной колледжа для профессоров и членов колледжа.

2.

Крайст-колледж (Колледж Христа) — один из колледжей Кембриджского университета, основанный в 1505 году.

3.

Садлеровский профессор — профессор, занявший кафедру, учреждённую в честь Садлера. Честь занимать такие «именные» кафедры представлялась только выдающимся учёным.

4.

Дирак, Поль Андриен Морис (1902–1984) — физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии, один из создателей современной физики, профессор Кембриджского университета, занимавший Лукасианскую кафедру, которую некогда занимал Исаак Ньютон.

5.

Бор, Нильс Хендрик Давид (1885–1962) — физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии, один из создателей современной физики. Семинар Бора в Институте теоретической физики в Копенгагене при жизни Нильса Бора был Меккой для физиков всего мира.

6.

Деление математики на чистую и прикладную («нечистую») долгое время оставалось весьма актуальным. Харди принадлежит «Курс чистой математики». Для представителей чистой математики было характерно высокомерное отношение к тем, кто занимался прикладными задачами.

7.

Крикет — английская национальная игра, несколько напоминающая лапту. Играют две команды по 11 человек в каждой на площадке с травяным покрытием. Цель игры — разрушить «калитку» противника, игроки которой, стоя перед калиткой, отбивают мяч битой.

8.

Ллойд Джордж, Дэвид (1863–1945) — премьер-министр Великобритании с 1916 по 1922 гг.

9.

Френология — модная в своё время лженаука, выводившая заключения о психических особенностях человека по измерениям его черепа.

10.

Эйнштейн, Альберт (1879–1955) — физик-теоретик, создатель теории относительности, один из творцов современной физики.

11.

Резерфорд, Эрнест (1871–1937) — физик-экспериментатор, один из создателей ядерной физики.

12.

Литлвуд, Джон Идензор (1885–1977) — математик, постоянный сотрудник и соавтор многих работ Харди.

13.

Рамануджан, Сриниваса (1887–1920) — индийский математик-самоучка, получивший ряд выдающихся результатов в теории чисел.

14.

Грин, Грэм (род. 1904 г.) — английский писатель.

15.

Первое издание вышло в 1940 году.

16.

Имеется в виду произведение Генри Джеймса «Письма Асперна».

Джеймс, Генри (1843–1916) — американский писатель, произведения которого (в частности, «Письма Асперна») посвящены художественному осмыслению психологии творческой личности.

17.

Магистр искусств — вторая учёная степень в Кембриджском и Оксфордском университетах.

18.

Кранли — мужская привилегированная частная школа в графстве Суррей, основанная в 1863 году.

19.

IQ — коэффициент умственного развития.

20.

Викторианский — в духе эпохи правления королевы Виктории (с 1837 по 1901 гг.).

21.

Горгулья — оконечность водосточной трубы в готической архитектуре, часто в виде лика химеры или какого-нибудь другого сказочного чудовища.

22.

Инфельд, Леопольд (1898–1968) — физик-теоретик, написавший в соавторстве с Альбертом Эйнштейном книгу «Эволюция физики».

23.

Уэллс, Герберт Джордж (1866–1946) — английский писатель, классик научно-фантастической литературы.

24.

Уинчестер, или Уинчестерский колледж, — одна из девяти старейших привилегированных мужских школ в г. Уинчестере, основанная в 1382 году епископом Уильямом Уинчестерским из Уикема.

25.

Сент-Полз-Скул (Школа Св. Павла) — одна из девяти старейших привилегированных мужских школ в Лондоне, основанная в 1509 году.

26.

Классическая школа — среднее учебное заведение, частное или государственное, для подростков в возрасте от 11 до 18 лет, дающая право на поступление в высшее учебное заведение. В программу классических школ входит изучение классических языков.

27.

Тринити, или Тринити-колледж (колледж Св. Троицы), — колледж Кембриджского университета, основанный в 1546 году.

28.

Боулировать — в крикете совершать броски в сторону калитки противника.

29.

Бэтсмен (от анг. bat — бита в крикете) — игрок, отбивающий мяч, брошенный по калитке.

30.

Уикемист — учащийся (или выпускник) Уинчестерского колледжа, основанного епископом Уильямом Уинчестерским из Уикема. См. прим. 24.

31.

Нью Колледж (Новый колледж) — колледж Оксфордского университета, основанный в 1379 году.

32.

Второй ранглер («мистер Математик номер два») — выпускник, занявший второе место на знаменитых экзаменах по математике «Трайпос», проводившимися в Кембридже. См. след. прим.

33.

Математический Треножник (Mathematical Tripos) — экзамен, проводившийся в Кембриджском университете на соискание степени бакалавра по математике с отличием. Победитель — Senior Wrangler («мистер Математик») — автоматически становился членом колледжа.

В своих выпусках Джеймс Клерк Максвелл и Уильям Томсон, будущий лорд Кельвин, стали вторыми ранглерами.

34.

Феннерз — спортивный комплекс в Кембридже.

35.

Тревельян, Джордж (1876–1962) — английский историк.

36.

«Лордз» — крикетный стадион в Лондоне, названный в честь Томаса Лорда, купившего в 1814 году этот стадион для Марилебонского крикетного клуба.

37.

Ляв, Огастес Эдуард Хьют (1863–1940) — английский математик и механик, специалист по математической теории упругости.

38.

Жордан, Мари Энмон Камиль (1838–1922) — французский математик, издатель «Журнала чистой и прикладной математики».

39.

Королевское общество (Лондонское Королевское общество усовершенствования естествознания) — одно из старейших научных обществ, основано в 1660 году под покровительством короля Карла II.

Среди его членов — Исаак Ньютон, Роберт Гук, Кристофер Рен. Играет такую же роль, как национальные Академии наук в других странах.

40.

Дон — название члена колледжа в Кембриджском и Оксфордском университетах или преподавателя Уинчестерского колледжа.

41.

Мур, Джордж Эдуард (1873–1958) — английский философ, автор «Опровержения идеализма».

42.

Уайтхед, Альфред Норт (1861–1947) — англо-американский математик, логик и философ.

43.

Рассел, Бертран (1872–1970) — английский философ, логик, математик и общественный деятель.

44.

Блумзбери — район в центральной части Лондона, где находятся Британский музей и Лондонский университет.

45.

Макмиллан, Гарольд (род. 1894 г.) — премьер-министр Великобритании и глава Консервативной партии с 1957 по 1963 гг.

46.

Кеннеди, Джон Фитцджеральд (1917–1963), президент США с 1961 по 1963 гг.

47.

Черчилль, Уинстон Леонард Спенсер (1874–1965) — премьер-министр Великобритании в 1940–45, 1951–55 гг.

48.

Эйзенхауэр, Дуайт Дэвид (1890–1969) — генерал армии, верховный главнокомандующий экспедиционными войсками союзников во Второй мировой войне, президент США с 1953 по 1961 гг.

49.

Брэдмен, Дональд — выдающийся австралийский крикетист.

50.

Гоббс, Томас (1588–1679) — английский философ.

51.

Бор, Харальд Август (1887–1951) — датский математик, младший брат Нильса Бора (см. прим. 5).

52.

Бэкон, Фрэнсис (1561–1626) — английский философ.

53.

Авторство произведений Уильяма Шекспира до сих пор вызывает споры. Одна из теорий приписывает авторство Фрэнсису Бэкону.

54.

Отсутствие доказательств, возможно, объясняется тем, что Рамануджан сознательно или бессознательно придерживался индийской математической традиции, не знавшей доказательств. Так, приводя чертёж, поясняющий геометрическую теорему (например, теорему Пифагора), индийские математики обращали к читателю только одно слово: «Смотри».

55.

Кейнс, Джон Мейнард (1883–1946) — английский экономист, основатель кейнсианства.

56.

Холл — трапезная колледжа.

57.

Тринити, или Тринити-колледж (колледж Св. Троицы) — колледж Кембриджского университета, основанный в 1546 году. (Одноименный колледж был основан в 1554 году в Оксфордском университете).

58.

Капица, Пётр Леонидович — физик-экспериментатор, лауреат Нобелевской премии, с 1921 по 1934 гг. работал в Кавендишской лаборатории Кембриджского университета.

59.

Патни — южный пригород Лондона.

60.

Эдуард VII (1841–1910) — английский король (с 1901 г.).

61.

Вильгельм II (1859–1941) — германский император и прусский король с 1888 по 1918 гг.

62.

Мастер — титул главы некоторых колледжей Кембриджского и Оксфордовского университетов.

63.

Имеется в виду Первая мировая война.

64.

Второй лейтенант — самое младшее офицерское звание в сухопутных войсках.

65.

См. прим. 31.

66.

Гелиотроп — солнцелюб, любитель солнца.

67.

Ph. D. — учёная степень «доктор философии» по математике, физике, биологии и другим наукам. Присуждение её было правом только университетов (в отличие от степеней бакалавров и магистров).

68.

Этос — характер какого-нибудь лица или явления.

69.

Мередит, Джордж (1828–1909) — английский писатель-романист.

70.

Роман английского писателя (ирландца по происхождению) Джеймса Джойса (1882–1941).

71.

Ганнибал (247 или 246–183 до н.э.) — карфагенский полководец.

72.

Гамилькар Барка (?–229 до н.э.) — карфагенский полководец, отец Ганнибала (см. прим. 71).

73.

Максвелл, Джеймс Клерк (1831–1879) — английский физик, основоположник классической электродинамики и статистической физики, первый директор Кавендишской лаборатории.

74.

Байрон, Джордж Ноэл Гордон (1788–1824) — английский поэт-романтик.

75.

Теккерей, Уильям Мейкпис (1811–1863) — английский писатель-романист.

76.

Теннисон, Альфред (1809–1892) — английский поэт.

77.

Мильтон, Джон (1608–1674) — английский поэт.

78.

Дарвин, Чарльз Роберт (1809–1882) — английский естествоиспытатель, автор «Происхождения видов путём естественного отбора».

79.

Веллингтон, Артур Уэсли (1769–1852) — герцог (с 1814 г.), английский фельдмаршал, командовавший союзными войсками против наполеоновской армии на Пиренейском полуострове и англо-голландскими войсками в битве при Ватерлоо.

80.

Пруст, Марсель (1871–1922) — французский писатель-романист.

81.

Сквош — разновидность хоккея на траве.

82.

Уимблдон — предместье Лондона, где находится Всеанглийский теннисный и крикетный клуб, на кортах которого проводится международный теннисный турнир, именуемый в обыденной речи и в печати Уимблдоном.

83.

«Овал» — крикетный стадион в графстве Суррей, на котором проводятся международные крикетные матчи.

84.

Уайтхолл — улица в Лондоне, на которой находятся правительственные учреждения, в переносном смысле — английское правительство.

85.

Пимлико — район в центральной части Лондона.

86.

Ярд — английская мера длины, равная 0,9144 м.

87.

Галлей, Эдмунд (1656–1742) — английский астроном, составивший каталог звёзд Южного неба, непременный секретарь Королевского общества, сыгравший немалую роль в написании и публикации «Математических начал натуральной философии» сэра Исаака Ньютона.

88.

Апология — защита, оправдание кого-либо или чего-либо, обычно предвзятая.

89.

Брэдли, Фрэнсис Герберт (1846–1921) — английский философ-неогегельянец.

90.

Доктор Джонсон, Сэмюэль (1709–1804) — английский писатель, составитель «Словаря английского языка».

91.

Алехин, Александр Александрович (1892–1946) — русский шахматист, чемпион мира в 1927–1935 и 1937–1946 гг.

92.

Тёрнер, Уильям (1775–1831) — английский живописец и график.

93.

Один из создателей дифференциального исчисления сэр Исаак Ньютон называл величину, изменяющуюся со временем, флюксией («текущей»), а её производную, или скорость изменения по времени, — флюентой.

94.

Галуа, Эварист (1811–1832) — французский математик.

95.

Абель, Нильс Хендрик (1802–1829) — норвежский математик.

96.

Риман, Георг Фридрих Бернгард (1826–1866) — немецкий математик.

97.

Гаусс, Карл Фридрих (1777–1855) — немецкий математик.

98.

Пенлеве, Поль (1863–1933) — французский математик и механик, в 1915–1916 гг. министр народного просвещения и информации, в 1917 и 1926–1929 гг. — военный министр, в 1917 и 1925 гг. — премьер-министр и в 1930–1933 гг. — министр авиации Франции.

99.

Лаплас, Пьер Симон (1749–1827) — французский математик, астроном и физик, в 1799 году — министр внутренних дел Франции.

100.

См. прим. 40.

101.

Aттила (?–453) — предводитель гуннов.

102.

Наполеон Бонапарт (1769–1821) — император Франции в 1804–1814 гг. и в марте-июне 1915 года.

103.

Листер, Джозеф (1827–1912) — английский врач, основоположник антисептической хирургии, открывший возбудителя молочнокислого брожения.

104.

Пастер, Луи (1822–1895) — французский учёный, основоположник микробиологии и иммунологии.

105.

Хаммурапи — царь Вавилонии с 1792 по 1750 гг. до н.э.

106.

Саргон II — царь Ассирии с 722 по 705 гг. до н.э.

107.

Навуходоносор II — царь Вавилонии с 605 по 562 гг. до н.э.

108.

Архимед (ок. 287–218 до н.э.) — древнегреческий математик и механик.

109.

Эсхил (ок. 525–460 до н.э.) — древнегреческий поэт-драматург, «отец трагедии».

110.

Галилей, Галилео (1564–1642) — итальянский физик, механик, астроном и математик, основоположник естествознания и экспериментальной физики.

111.

Ролль, Мишель (1652–1719) — французский математик.

112.

Лорд Саймон, Джон Олбрук (1873–1954) — министр иностранных дел в правительстве Великобритании с 1931 по 1935 гг.

113.

Лорд Бивербрук, Уильям Максуэл (1879–1964) — член правительства Великобритании в 1918 и 1940–1945 гг., газетный магнат.

114.

«Principia Mathematica» («Основания математики») — трёхтомная монография Уайтхеда и Рассела, изданная в 1910–1913 гг. [Имеется русский перевод, изданный Самарским государственным университетом в 2004–2006 гг. E.G.A.]

115.

Спенсер, Герберт (1820–1903) — английский философ.

116.

Пифагор Самосский (VI век до н.э.) — древнегреческий мыслитель и математик, основатель пифагорейской школы.

117.

Кантор, Георг (1845–1918) — немецкий математик, основоположник теории множеств.

118.

Теэтет Афинский (410?–368 до н.э.) — древнегреческий математик.

119.

Евдокс Книдский (ок. 408–ок. 355 до н.э.) — древнегреческий математик и астроном.

120.

Диофант (ок. 250) — математик эпохи эллинизма. Сохранились два его сочинения: «Арифметика» и «О многоугольных числах».

121.

Эйлер, Леонард (1707–1783) — математик, механик, физик и астроном.

122.

Британская Ассоциация по распространению научных знаний, основанная в 1831 году.

123.

Эддингтон, Артур Стэнли (1882–1944) — английский физик и астрофизик.

124.

Холдейн, Джон Скотт (1860–1936) — английский физиолог.

125.

Колонна Нельсона — памятник адмиралу Горацио Нельсону (1758–1805) на Трафальгарской площади.

126.

Трафальгарская площадь — площадь в центре Лондона, названная в честь победы английского флота под командованием адмирала Нельсона над франко-испанской армадой у мыса Трафальгар в 1805 году.


 



THE AMERICAN
 MATHEMATICAL MONTHLY 
 1970 · VOLUME 77 · N 8 · PP. 831–836

HARDY'S "A MATHEMATICIAN'S APOLOGY"

L. J. Mordell
St. John's College, Cambridge, England


A reprint of this most interesting book appeared in 1967 with a foreword by C. P. Snow, Hardy's friend of long standing.

It has often been reviewed and highly praised, but there are, however, some opinions expressed by Hardy which, perhaps, have not been adequately dealt with by other reviewers. Furthermore, Snow's foreword calls for some comment, especially his references to Ramanujan (1887–1920). He writes that after Hardy and Littlewood read the manuscript sent by Ramanujan to Hardy (probably Jan. 16, 1913), "they knew, and knew for certain" that he "was a man of genius... . It was only later that Hardy decided that Ramanujan was, in terms of natural mathematical genius, in the class of Gauss and Euler; but that he could not expect, because of the defects of his education, and because he had come on the scene too late in the line of mathematical history, to make a contribution on the same scale." While one would readily accept that Ramanujan was a man of genius, the comparison with Gauss and Euler is very farfetched. I have some difficulty in believing that Hardy made such a statement, or at any rate made it in this form. What does natural mathematical genius mean? Undoubtedly Ramanujan was outstanding in some aspects of mathematics and had great potentialities. But this is not enough. What really matters is what he did, and one cannot accept such a comparison with Euler and Gauss, whose many-sided contributions were of fundamental importance and changed the face of mathematics. In fact in 1940, in the book on Ramanujan, Hardy said "I cannot imagine anybody saying with any confidence, even now, just how great a mathematician he was and still less how great a mathematician he might have been." Snow says that Ramanujan, as is commonly believed, was the first Indian to be elected (2 May, 1918) a fellow of the Royal Society. He was the second. The first was Ardaseer Cursetjee (1808–1877), shipbuilder and engineer, F.R.S. 27 May, 1841. Snow notes that Ramanujan was elected a fellow of Trinity four years after his arrival in England and continues, "it was a triumph of academic uprightness that they should have elected Hardy's protégé Ramanujan at a time when Hardy was only just on speaking terms with some of the electors and not at all with others." It is well that the merits of a fellowship candidate are judged by the quality of his original work and not by the political views of his sponsors.

Let us examine some of the views expressed by Hardy. They are sometimes stated too categorically, regardless of exceptions and limitations. A number of them had their origin in what he says, most gloomily, in the very first section of the Apology: "It is a melancholy experience for a professional mathematician to find himself writing about mathematics. The function of a mathematician is to do something, to prove new theorems, to add to mathematics, and not to talk about what he or other mathematicians have done."

His practice many years ago does not conform with this statement. He recalls in Section 6 that he did talk about mathematics in his 1920 Oxford inaugural lecture, which actually contains an apology for mathematics. Further in 1921, he gave an address on Goldbach's theorem to the Mathematical Society of Copenhagen. In this, he did talk about what he and other mathematicians had done. Such talks render a real service to mathematics and many have found great pleasure and inspiration in listening to or reading such expositions. Hardy had followed the practice of many eminent mathematicians in giving them. These have contributed to the richness and vividness of mathematics and make it a living entity. Without them, mathematics would be much the poorer.

No mathematician can always be producing new results. There must inevitably be fallow periods during which he may study and perhaps gather ideas and energy for new work. In the interval, there is no reason why he should not occupy himself with various aspects of mathematical activity, and every reason why he should. The real function of a mathematician is the advancement of mathematics. Undoubtedly the production of new results is the most important thing he can do, but there are many other activities which he can initiate or participate in. Hardy had his full share of these. He took a leading part in the reform of the mathematical tripos some sixty years ago. Before then, it was looked upon as a sporting event, reminding one of the Derby, and was out of touch with continental mathematics. A mathematician can engage in the many administrative aspects of mathematics. Hardy was twice secretary and president of the London Mathematical Society and, while so occupied, must have done an enormous amount of unproductive work. He served on many committees dealing with mathematics and mathematicians. He wrote a great many obituary notices. He was well aware that a professor of mathematics is a representative of his subject in his University. This entails many duties which cannot be called doing mathematics.

His reference to a melancholy experience shows how much he took to heart and suffered from the loss of his creative powers. The result is, as Snow says, that the Apology is a book of haunting sadness.

Further in this first section, he says despairingly, "if then I find myself writing not mathematics but 'about' mathematics, it is a confession of weakness, for which I may rightly be scorned or pitied by younger and more vigorous mathematicians. I write about mathematics because, like any other mathematician who has passed sixty, I have no longer the freshness of mind, the energy, or the patience to carry on effectively with my proper job." He had been for many years a most active mathematician and his collected works now being published will consist of seven volumes. It seems almost nonsense to say that anyone would scorn or pity him, and the use of the term 'rightly' is even more nonsensical.

We all know only too well that with advancing age we are no longer in our prime, and that our powers are dimmed and are not what they once were. Most of us, but not Hardy, accept the inevitable. There are still many consolations. We can perhaps find pleasure in thinking about some of our past work. We can read what others are doing, but this may not be easy since many new techniques have been evolved, sometimes completely changing the exposition of classical mathematics. Various reviews, however, may give one some idea of what has been done. (We can still be of service to younger mathematicians.)

His statement about a mathematician who has passed sixty is far too sweeping and any number of instances to the contrary can be mentioned, even among much older people. One need only note some recent Cambridge and Oxford professors. Great activity among octogenarians is shown by Littlewood, his lifelong collaborator, Sydney Chapman, his former pupil and collaborator, and myself. There is also Besicovitch in the seventies. Davenport, who had passed sixty, was as active and creative as ever, and his recent death is a very great loss to mathematics since he could have been expected to continue to produce beautiful and important work.

The question of age was ever present in Hardy's mind. In Section 4, he says, "No mathematician should ever allow himself to forget that mathematics, more than any other art or science, is a young man's game." It seems that he could not reconcile himself to growing old. For further on, he ways, "I do not know an instance of a major mathematical advance initiated by a man past fifty." This may be so, but much depends on the definition of the advance. But there is no need to be troubled about it. Much important work has been done by men after the age of fifty.

A number of Hardy's statements must be qualified. In Section 2, he says, that "good work is not done by 'humble' men. It is one of the first duties of a professor, for example, in any subject, to exaggerate a little both the importance of his subject and his own importance in it. A man who is always asking, 'Is what I do worthwhile?' and 'Am I the right person to do it?' will always be ineffective himself and a discouragement to others."

Though one may naturally have a better opinion of one's work than others have, there are many exceptions to his statement. I never knew Davenport to exaggerate or emphasize the importance of his work, but he was a most effective mathematician and a very successful supervisor of research. Prof. Frechet told me a few years ago, that when Norbert Wiener was working with him a long time ago, he was always asking, "Is my work worthwhile?", "Am I slipping?", etc. S. Chowla is as modest and humble a mathematician as I know of, but he inspires many research students.

We comment on some more of Hardy's statements about mathematics. One of the most surprising is in Section 29, "I do not remember having felt, as a boy, any passion for mathematics, and such notions as I may have had of the career of a mathematician were far from noble. I thought of mathematics in terms of examinations and scholarships; I wanted to beat other boys, and this seemed to me to be the way in which I could do so most decisively."

It has often been said that mathematicians are born and not made. Most great mathematicians developed their keenness for mathematics in their school days. Their ability revealed itself by comparison with the performances of their schoolmates. Their ambition was to continue the study of mathematics and to take up a mathematical career. Probably no other motive played any part in the decision of most of them.

In Section 3, he considers the case of a man who sets out to justify his existence and his activities. I see no need for justification any more than a poet or painter or sculptor does. As Trevelyan says, disinterested intellectual curiosity is the life blood of real civilization. It is curiosity that makes a mathematician tick. When Fourier reproached Jacobi for trifling with pure mathematics, Jacobi replied that a scientist of Fourier's calibre should know that the end of mathematics is the great glory of the human mind. Most mathematicians do mathematics for the very good reason that they like and enjoy doing it. Davenport told me that he found it "exciting" to do mathematics.

Hardy says that the justifier has to distinguish two different questions. The first is whether the work which he does is worth doing and the second is why he does it, whatever its value may be. He says to the first question: The answer of most people, if they are honest, will usually take one or the other of two forms; and the second form is merely a humbler version of the first, which we need to consider seriously. "I do what I do because it is the one and only thing I can do at all well." It suffices to say that the mathematician felt no need to do anything else.

Hardy is very appreciative of the beauty and aesthetic appeal of mathematics. "A mathematician," he says in Section 10, "like a painter or poet, is a maker of patterns...," and these "...must be beautiful. The ideas... must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics... . It may be very hard to define mathematical beauty..." but one can recognize it. He discusses the aesthetic appeal of theorems by Pythagoras on the irrationality of √2, and Euclid on the existence of an infinity of prime numbers. He says in Section 18, "there is a very high degree of unexpectedness, combined with inevitability and economy. The arguments take so odd and surprising a form; the weapons used seem so childishly simple when compared with the far-reaching results."

I might suggest among other attributes of beauty, first of all, simplicity of enunciation. The meaning of the result and its significance should be grasped immediately by the reader, and these in themselves may make one think, what a pretty result this is. It is, however, the proof which counts. This should preferably be short, involve little detail and a minimum of calculations. It leaves the reader impressed with a sense of elegance and wondering how it is possible that so much can be done with so little.

Somehow, I do not think that Hardy's work is characterized by beauty. It is distinguished more by his insight, his generality, and the power he displays in carrying out his ideas. Many of the results that he obtains are very important indeed, but the proofs are often long and require concentrated attention, and this may blunt one's feelings even if the ideas are beautiful.

Hardy does not define ugly mathematics. Among such, I would mention those involving considerable calculations to produce results of no particular interest or importance; those involving such a multiplicity of variables, constants, and indices, upper, lower, right, and left, making it very difficult to gather the import of the result; and undue generalization apparently for its own sake and producing results with little novelty. I might also mention work which places a heavy burden on the reader in the way of comprehension and verification unless the results are of great importance.

Hardy had previously said that he could "quote any number of fine theorems from the theory of numbers whose meaning anyone can understand, but whose proofs, though not difficult, may be found tedious." It often happens that there are significant results apparently of some depth, the proof of which can be grasped by those with a minimum of mathematical knowledge. Perhaps I may be pardoned if I give one of my own. The theorem of Pythagoras suggests the problem of finding the integer solutions of the equation x2 + y2 = z2. This was done some 1000 years ago and is not difficult. But suppose we consider the more general equation ax2 + by2 = cz2. This is a real problem in the theory of numbers. Legendre at the end of the eighteenth century gave necessary and sufficient conditions for its solvability. Then when the equation is taken in the normal form, i.e. abc is square-free and a>0, b>0, c>0, Holzer showed in 1953 that a solution existed with |z|<√ab, from which it follows that |x|≤√bc, |y|≤√ca. I recently found a proof of this result that no one would call tedious by showing that if a solution (x1y1z1) existed with | z1| > √ab, then there was another with | z2| < | z1|. This arose by taking an appropriate line through the point (x1y1z1) to meet the conic ax2 + by2 = cz2 in the point (x2y2z2). I call this a schoolboy proof, because the only advanced result required is that the equation lx + my = n has an integer solution if l and m are co-prime. A proof of the theorem could have been found by a schoolboy.

We conclude by examining Hardy's views about the utility or usefulness of mathematics. He seems to denigrate the usefulness of 'real' mathematics. In Section 21, he says, "The 'real' mathematics of the 'real' mathematicians, the mathematics of Fermat and Euler and Gauss and Abel and Riemann is almost wholly 'useless.' " This statement is easily refuted. A ton of ore contains an almost infinitesimal amount of gold, yet its extraction proves worthwhile. So if only a microscopic part of pure mathematics proves useful, its production would be justified. Any number of instances of this come to mind, starting with the investigation of the properties of the conic sections by the Greeks and their application many years later to the orbits of the planets. Gauss' investigations in number theory led him to the study of complex numbers. This is the beginning of abstract algebra, which has proved so useful for theoretical physics and applied mathematics. Riemann's work on differential geometry proved of invaluable service to Einstein for his relativity theory. Fourier's work on Fourier series has been most useful in physical investigations. Finally one of the most useful and striking applications of pure mathematics is to wireless telegraphy which had its origin in Maxwell's solution of a differential equation. Many new disciplines are making use of more and more pure mathematics, e.g., the biological sciences, economics, game theory, and communication theory, which requires the solution of some difficult Diophantine equations. It has been truly said that advances in science are most rapid when their problems are expressed in mathematical form. These in time may lead to advances in pure mathematics.

These remarks may serve as a reply to Hardy's statement that the great bulk of higher mathematics is useless.

It is suggested that one purpose mathematics may serve in war is that a mathematician may find in mathematics an incomparable anodyne. Bertrand Russell says that in mathematics, "one at least of our nobler impulses can best escape from the dreary exile of the actual world." Hardy's comment on this reveals his depressed spirits. "It is a pity," he says, "that it should be necessary to make one very serious reservation, he must not be too old. Mathematics is not a contemplative but a creative subject; no one can draw much consolation from it when he has lost the power or desire to create; and that is apt to happen to mathematicians rather soon." What does he mean when he says mathematics is not a contemplative subject? Many people can derive a great deal of pleasure from the contemplation of mathematics, e.g., from the beauty of its proofs, the importance of its results, and the history of its development. But alas, apparently not Hardy.





Hosted by uCoz