Дифференциальное уравнение Риккати

Механическая задача Даниила Бернулли

Механическая задача Эйлера

Исследования Лагранжа, Карлини и Лапласа

Исследования Фурье

Исследования Пуассона

Исследования Бесселя

Определение бесселевых функций с целым индексом

Ряд для J_n(z) по возрастающим степеням аргумента

Рекуррентные формулы

Дифференциальные уравнения для J_n(z)

Интеграл Бесселя для бесселевых функций с целым индексом

Различные формы интеграла Парсеваля

Разложения в ряды по бесселевым функциям, полученные Якоби

Интеграл Пуассона

Исследование интеграла Пуассона Бесселем

Преобразование интеграла Пуассона, данное Якоби

Доказательство формулы преобразования Якоби

Доказательство Лиувилля

Доказательство Шлефли

Об одном применении формулы Якоби

Теорема сложения для бесселевых функций

Ряд Хансена для квадратов и произведений бесселевых функций

Интеграл Неймана для J_n²(z)

Ряд Неймана для J_n²(z)

Разложение Шлемильха функции z^m в ряд по бесселевым функциям

Разложение Шлемильха вида ∑ n^pJ_n(z)

Разложение функции z^2m в ряд по квадратам бесселевых функций, данное Нейманом

Обобщение дифференциального уравнения Бесселя

Функции, индекс которых равен половине нечетного числа

Фундаментальная система решений уравнения Бесселя

Общие свойства функции J_ν(z)

Рекуррентные формулы для J_ν(z)

Бесселевы функции с комплексным индексом

Представление функции J_ν(z) с помощью интеграла Пуассона, данное Ломмелем

Неравенства, получаемые из интеграла Пуассона

Обобщение интеграла Пуассона, данное Гегенбауэром

Двойной интеграл Гегенбауэра типа Пуассона

Выражение функции J_±(n+½)(z) в конечном виде

Обозначения для функций, порядок которых равен половине нечетного числа

Второе решение уравнения Бесселя с целым индексом

Разложение функции Y₀(z) в ряд по возрастающим степеням z

Разложение Y_n(z) в ряд по возрастающим степеням z и определение J_ν(z)

Определение функции Y_ν(z)

Функция Вебера–Шлефли второго рода

Определение функции второго рода по Гейне

Рекуррентные формулы для Y_ν(z) и Y_ν(z)

Функция Неймана второго рода

Интеграл типа Пуассона для Y ⁽⁰⁾(z)

Ряд Стокса для интеграла Пуассона–Неймана

Определение функции Y ⁽ⁿ⁾(z) по Нейману

Разложение функции Y ⁽ⁿ⁾(z) по Нейману

Степенной ряд для U_n(z)

Интеграл типа Пуассона для Y ⁽ⁿ⁾(z)

Функции третьего рода

Соотношение между бесселевыми функциями первого, второго и третьего рода

Бесселевы функции от аргумента –z и ze^πim

Фундаментальные системы решений уравнения Бесселя

Функции Бесселя от чисто мнимого аргумента

Формулы для I_ν(z) и K_ν(z)

Функции Томсона ber(z) и bei(z) и их обобщения

Определение цилиндрических функций

Решение уравнения Риккати методом Даниила Бернулли

Бернуллиевы преобразования уравнения Риккати

Предельный вид уравнения Риккати с индексом –2

Решение уравнения Риккати методом Эйлера

Общее решение уравнения Риккати, данное Кэли

Уравнение Риккати в канонической форме Шлефли

Различные исследования уравнения Риккати

Обобщенное уравнение Риккати

Теоремы Эйлера об обобщенном уравнении Риккати

Различные преобразования уравнения Бесселя

Преобразования уравнения Бесселя по методу Ломмеля

Дифференциальное уравнение Мальмстена

Обозначения Похгаммера для обобщенных гипергеометрических рядов

Различные решения в виде рядов

Соотношения между решениями в виде рядов

Дифференциальное уравнение Шарпа

Уравнения выше второго порядка

Символическое решение дифференциальных уравнений

Классификация элементарных трансцендентных функций по Лиувиллю

Первая теорема Лиувилля о линейных дифференциальных уравнениях

Вторая теорема Лиувилля о линейных дифференциальных уравнениях

Теорема Лиувилля об отсутствии у уравнения Бесселя алгебраических интегралов

О невозможности интегрирования уравнения Бесселя в конечном виде

О неинтегрируемости уравнения Риккати в конечном виде

Решения уравнения Лапласа

Решения волновых уравнений

Теоремы, получаемые из решений уравнений математической физики

Решения волнового уравнения в пространстве p измерений

Решение обобщенного волнового уравнения, данное Бэйтменом

Неопределенные интегралы, содержащие одну бесселеву функцию

Интегралы Ломмеля, содержащие две цилиндрические функции

Неопределенные интегралы, содержащие две цилиндрические функции; второй метод Ломмеля

Интеграл Сонина, содержащий две цилиндрические функции

Формула приведения Шафхейтлина

Разложения в ряды по бесселевым функциям

Разложение функции Бесселя в ряд по бесселевым функциям

Разложение Ломмеля для (z+h)^±ν/2J_ν(√ z+h)

Разложение функции Бесселя в ряд по бесселевым функциям

Формула сложения для бесселевых функций

Произведения бесселевых функций

Произведение рядов, представляющих бесселевы функции

Произведения, содержащие бесселевы функции второго рода

Представление J_μ(z)J_ν(z) в виде интеграла

Разложение (z/2)^μ+ν в виде ряда произведений бесселевых функций

Ряды Ломмеля по квадратам бесселевых функций

Формулы, содержащие непрерывные дроби

Выражение Хансена для J_ν(z) в виде предела гипергеометрической функции

Бесселевы функции как пределы функций Лежандра

Интегралы, связанные с формулой Мелера

Формулы Ольбрихта

Обобщение интеграла Пуассона

Видоизменения контурных интегралов Ханкеля

Интегральные представления функций третьего рода

Обобщенные интегралы Мелера–Сонина

Символические формулы Харгрейва и Макдональда

Интегралы типа Пуассона для J_ν(z) и K_ν(z), данные Шлефли

Интегралы Бассета для J_ν(xz)

Обобщения Уиттекера интегралов Ханкеля

Обобщения интеграла Бесселя

Интегралы, представляющие функции второго и третьего рода

Интегралы, представляющие J_ν(z) и K_ν(z)

Формулы Харди для интегралов типа Дюбуа-Реймона

Обобщение интегрела Бесселя, полученное Тейзингером

Эквивалентность интегральных представлений функции K_ν(z)

Преобразование Шлефли

Преобразование Пуассона

Преобразование Мальмстена

Интеграл Эйри

Интегральные представления бесселевых функций по Барнсу

Представления Барнса для функций третьего рода

Асимптотические формулы для J_ν(z)

Асимптотические разложения Ханкеля для H_ν⁽¹⁾(z) и H_ν⁽²⁾(z)

Асимптотические разложения J_ν(z), J_–ν(z) и Y_ν(z)

Явление Стокса

Асимптотические разложения J_ν(z) и K_ν(z)

Асимптотические разложения ber(z) и bei(z)

Асимптотические разложения в форме Адамара

Формулы для остатков асимптотических разложений

Исследования Стилтьеса функций J₀(x), Y₀(x) и K₀(x)

Знаки остатков в асимптотических разложениях, соответствующих J_ν(x) и Y_ν(x)

Формулы Вебера для остатков в разложениях функций третьего рода

Приближенные выражения для остатков асимптотических разложений

Следствия из интегралов Шафхейтлина

Асимптотические разложения бесселевых функций по Шлефли

Асимптотические разложения бесселевых функций по Барнсу

Асимптотические разложения произведений бесселевых функций

Бесселевы функции с большим индексом

Первое обобщение формулы Карлини, данное Мейсселем

Второе разложение Мейсселя

Принцип стационарной фазы. Бесселевы функции с индексом, равным аргументу

Третье разложение Мейсселя

Приложение принципа Кельвина к функции J_ν(ν sec β)

Метод перевала

Построение контуров Дебая в случае вещественных переменных

Геометрические свойства контуров Дебая

Асимптотическое разложение для J_ν(ν sch α)

Асимптотические разложения для J_ν(ν sec β) и Y_ν(ν sec β)

Асимптотические разложения бесселевых функций, порядок и индекс которых приблизительно равны

Асимптотические формулы для промежуточных областей

Общие свойства J_ν(νx) при 0<x≤1

Одна лемма относительно функции F(θ, x)

Монотонность отношения J_ν(νx)/J_ν(ν)

Свойства функций J_ν(ν) и J'_ν(ν)

Монотонность функций J_ν(ν) и J'_ν(ν)

Монотонность отношения ν^1/3J'_ν(ν)/J_ν(ν)

Асимптотические разложения бесселевых функций с большим комплексным индексом

Форма контуров Дебая в случае комплексных переменных

Неравенство Каптейна для J_n(nz)

Определение полинома Неймана O_n(t)

Рекуррентные формулы для O_n(t)

Дифференциальное уравнение для O_n(t)

Контурные интегралы Неймана, связанные с функциями O_n(z)

Интеграл Неймана для функции O_n(z)

Исследование Сониным интеграла Неймана

Производящая функция для O_n(z)

Неравенство типа Каптейна для функции O_n(nz)

Обобщение полинома Неймана, данное Гегенбауэром

Полиномы Шлефли S_n(t)

Формулы, связывающие полиномы Неймана и Шлефли

Выражение Графа для полинома S_n(z) в виде суммы бесселевых функций

Интеграл Крелье для полинома S_n(z)

Разложение S_n(t+z) по бесселевым функциям, данное Шлефли

Определение полинома Неймана Ω_n(t)

Рекуррентные формулы для Ω_n(t)

Обобщение полинома Неймана Ω_n(t), данное Гегенбауэром

Определение полиномов Ломмеля R_m,ν(z)

Явное представление полиномов Ломмеля

Свойства полиномов Ломмеля

Рекуррентные формулы для полиномов Ломмеля

Трехчленные соотношения, связывающие полиномы Ломмеля

Предельное соотношение Гурвица для полиномов Ломмеля

Видоизмененное обозначение для полиномов Ломмеля

Вещественность корней полинома g_2m,ν(z) при ν > –2

Отрицательные корни полинома g_2m,ν(z) при ν < –2

Положительные и комплексные корни полинома g_2m,ν(z) при ν < –2

Функции J_ν(z) и E_ν(z) в исследованиях Ангера и Вебера

Формулы Вебера, связывающие функции Вебера с функциями Ангера

Рекуррентные формулы для J_ν(z) и E_ν(z)

Интегралы, выражающиеся через функции Ангера и Вебера

Асимптотические разложения функций Ангера–Вебера от большого аргумента

Асимптотические разложения функций Ангера–Вебера с большим индексом и аргументом

Обобщения интеграла Эйри, данные Харди

Вычисление интегралов Эйри–Харди с четным индексом

Вычисление интегралов Эйри–Харди с нечетным индексом

Числа Коши

Функции Бурже и Джулиани

Определение функции Струве H_ν(z)

Интеграл по петле для функции H_ν(z)

Асимптотическое разложение функции H_ν(z) при большом |z|

Асимптотическое разложение функции Струве с большим индексом

Соотношение между функциями H_ν(z) и E_ν(z)

О знаке функции Струве

Интеграл Тейзингера

Интеграл Уиттекера

Функции, составляющие функцию Y_n(z) в сумме

Рекуррентные формулы для T_n(z) и U_n(z)

Ряды для T_n(z) и U_n(z)

Разложение Графа для функции T_n(z+t) по бесселевым функциям с целыми индексами

Определение функций Ломмеля S_μ,ν(z) и s_μ,ν(z)

Построение функции S_μ,ν(z)

Рекуррентные формулы для функций Ломмеля

Функции Ломмеля S_μ,ν(z) в случае, когда μ±ν — нечетное отрицательное число

Функции, выражающиеся через функции Ломмеля

Асимптотическое разложение для S_μ,ν(z)

Полуцилиндрические функции

Теорема сложения для полуцилиндрических функций

Функциональные уравнения Нильсена

Общие сведения о теоремах сложения

Теорема сложения Неймана

Обобщение формулы Неймана, данное Графом

Теорема сложения Гегенбауэра

Видоизмененная форма теоремы сложения Гегенбауэра

Исследование теоремы сложения, данное Гегенбауэром

Вырожденная форма теоремы сложения

Разложение Бэйтмена

Различные типы определенных интегралов

Первый определенный интеграл Сонина

Первый интеграл Сонина (геометрическое доказательство)

Второй определенный интеграл Сонина

Определенный интеграл Гегенбауэра

Интегралы, получаемые из разложения Бэйтмена

Тригонометрические интегралы Каптейна

Метод вычисления определенных интегралов, данный Харди

Интеграл Чессина для функции Y_n(z)

Различные типы несобственных интегралов

Интеграл Липшица с обобщениями Ханкеля

Интегралы Липшица–Ханкеля, выраженные через функции Лежандра

Приложения формулы сложения к интегралам Липшица–Ханкеля

Выводы Гегенбауэра из интегралов Липшица и Ханкеля

Несобственный интеграл Вебера по Шафхейтлину

Первый экспоненциальный интеграл Вебера и его обобщения

Второй экспоненциальный интеграл Вебера

Обобщения второго экспоненциального интеграла Вебера

Интеграл Струве, содержащий произведения бесселевых функций

Разрывный интеграл Вебера и Шафхейтлина

Критический случай интеграла Вебера–Шафхейтлина

Частные случаи разрывных интегралов

Исследование интеграла Вебера–Шафхейтлина, данное Гегенбауэром

Исследование интеграла Вебера–Шафхейтлина, данное Гублером

Видоизменение интеграла Вебера–Шафхейтлина

Обобщения интеграла Вебера–Шафхейтлина

Разрывные интегралы Сонина и Гегенбауэра

Задача о случайных перемещениях

Разрывные интегралы Галлопа и Харди

Вычисление определенных интегралов посредством интегрирования по контуру

Интеграл Ханкеля, содержащий одну бесселеву функцию

Обобщение интеграла Ханкеля

Интегралы Ханкеля, содержащие произведение бесселевых функций

Обобщения интеграла Никольсона

Интегралы Сонина

Новый метод вычисления определенных интегралов

Интегралы, содержащие произведения бесселевых функций

Интегральные представления произведений бесселевых функций

Представление произведения K_ν(Z)K_ν(z) в виде интеграла

Интегральные представления произведений, данные Никольсоном

Интеграл Никольсона для J_ν²(Z) + Y_ν²(z)

Следствия интеграла Никольсона

Асимптотическое разложение для J_ν²(Z) + Y_ν²(z)

Интегралы Рамануджана

Задачи, связанные с кратными интегралами

Несобственные интегралы Вебера

Общее исследование интеграла Неймана

Повторный интеграл Ханкеля

Аналог леммы Римана–Лебега

Обращение повторного интеграла Ханкеля

Существенная часть пути интегрирования в повторном интеграле Ханкеля

Доказательство интегральной теоремы Ханкеля

Замечания относительно первоначального доказательства теоремы Ханкеля

Распространение теоремы Ханкеля на произвольные цилиндрические функции

Обобщение теоремы Ханкеля на случай 0 ≤ ν ≤ 1/2

Интегральная теорема Вебера

Формулировка интегральной теоремы Неймана

Аналог леммы Римана–Лебега

Обращение повторного интеграла Неймана

Доказательство интегральной теоремы Неймана

Исследование интеграла Неймана, данное Мелером

Задачи, связанные с корнями бесселевых функций

Теорема Бесселя–Ломмеля о корнях функции J_ν(z)

Отсутствие кратных корней у цилиндрических функций

Чередование корней бесселевых функций

Теорема Диксона о чередовании корней

Чередование корней цилиндрических функций с индексом ν

Теорема Ломмеля о вещественности корней функции J_ν(z)

Аналог теоремы Ломмеля для функций второго рода

Теорема Гурвица о корнях функции J_ν(z)

Гипотеза Бурже

Элементарные свойства корней функции J_ν(z)

Стационарные значения цилиндрических функций

Исследование корней функции J₀(x), данное Шафхейтлином

Теоремы типа Шафхейтлина для –1/2 < ν ≤ 1/2

Теоремы типа Шафхейтлина для 1/2 < ν < 5/2

Корни цилиндрических функций со сколь угодно большим индексом (по Шафхейтлину)

Теорема Бохера о корнях функции C₀(x)

О числе корней функции J_ν(z) в заданной полосе z-плоскости

Выражение функции J_ν(z) в виде бесконечного произведения

Разложение Кнезера–Зоммерфельда

Исследование корней функции J₀(2√z), данное Эйлером

Обобщение Рэлея формулы Эйлера

Большие корни функции J₀(x)

Большие корни цилиндрических функций

Корни функций, связанных с цилиндрическими функциями

Характер изменения корней цилиндрической функции при изменении индекса

Задача о колебании мембраны

Корни функции K_ν(z)

Корни бесселевых функций с большим индексом

Наименьшие корни функций J_ν(x) и Y_ν(z)

Приложения метода Штурма

Приложения методов Штурма к функциям с большим индексом

Определение ряда Неймана

Разложение произвольной функции в ряд по бесселевым функциям с целым индексом, данное Нейманом

Аналог Неймана разложения Лорана

Обобщение разложения Неймана, данное Гегенбауэром

Разложение функции в ряд по квадратам или произведениям

Теорема Пинчерле и ее обобщения

Частные случаи рядов Неймана

Суммирование рядов Неймана по Ломмелю

Суммирование рядов Неймана по Каптейну

Теория рядов Неймана, данная Веббом и Каптейном

Применение трансформации Бореля

Функция Ломмеля двух переменных

Дифференциальные уравнения для функций Ломмеля от двух переменных

Рекуррентные формулы для функций Ломмеля от двух переменных

Интегральные представления функций Ломмеля

Формулы обращения, полученные Ломмелем

Формулы псевдосложения для функций с индексами 1/2 и 3/2

Интегралы Френеля

Интегралы Харди для функций Ломмеля

Интегралы типа Жильбера для функции Ломмеля

Асимптотические разложения функций Ломмеля от двух переменных

Определение ряда Каптейна

Задача Кеплера и связанные с ней задачи в исследовании Бесселя

Разложения, связанные с разложениями Кеплера–Бесселя

Сумма рядов Каптейна специального вида

Разложения Мейсселя типа разложений Каптейна

Простые ряды Каптейна с комплексными переменными

Обобщение разложений Мейсселя на случай комплексных переменных

Разложение zⁿ в ряд Каптейна

Исследование ряда Каптейна для zⁿ по методу индукции

Разложение функции 1/(t–z) в ряд Каптейна

Другие выводы разложения функции 1/(t–z) в ряд Каптейна

Разложение произвольной аналитической функции в ряд Каптейна

Ряд Каптейна, в котором ν не равно нулю

Ряды Каптейна второго рода

Ряд Каптейна, сходящийся вне области K

Сходимость ряда Каптейна на границе области K

Формальное разложение Фурье для произвольной функции

О различных типах рядов

Частные случаи разложений Фурье–Бесселя и Дини

Методы Ханкеля и Шлефли

Контурный интеграл Ханкеля–Шлефли

Интегралы, содержащие T_n(t, x)

Аналог леммы Римана–Лебега

Разложение Фурье–Бесселя

Равномерная сходимость разложения Фурье–Бесселя

Равномерная сходимость разложения Фурье–Бесселя вблизи x=1

Порядок абсолютной величины членов рядов Фурье–Бесселя

Приложение методов Ханкеля–Шлефли к разложению Дини

Контурный интеграл для S_n(t, x; H)

Аналог леммы Римана–Лебега для функции S_n(t, x; H)

Разложение Дини для произвольной функции

Сумма ряда Дини при x=1

Равномерная сходимость разложения Дини в интервале, включающем точку x=1

Дифференцирование разложений Фурье–Бесселя

Суммируемость рядов Фурье–Бесселя

Теоремы о функции T_n(t, x | R)

Аналог теоремы Фейера

Равномерная суммируемость рядов Фурье–Бесселя вблизи начала координат

Методы суммирования рядов Фурье–Бесселя

Равномерная сходимость разложения Фурье–Бесселя вблизи начала координат

Суммируемость рядов Дини

Единственность рядов Фурье–Бесселя и рядов Дини

Разложение функции вещественного переменного, данное Шлемильхом

Разложение в ряд по бесселевым функциям с индексом нуль, данное Шлемильхом

Определение ряда Шлемильха

Приложение теории вычетов к обобщенному разложению Шлемильха

Построение функции F(z)

Преобразование символических операторов в обобщенном разложении Шлемильха

Ограниченность функции F(z) при |z|→∞

Разложение произвольной функции в обобщенный ряд Шлемильха

Специальные функции, представляемые рядами Шлемильха

Выражение нуль-функции с помощью ряда Шлемильха

Теоремы о сходимости рядов Шлемильха

Присоединенная функция

Лемма I

Лемма II

Аналог теоремы Римана о тригонометрических рядах

Теорема о сходимости обобщенных рядов Шлемильха

Присоединенная функция

Аналог теоремы Римана

Теоремы типа Римана о рядах по бесселевым функциям и о рядах Дини по бесселевым функциям